Kezdőlap


Feladat:	F.2001	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Csúri Miklós
Füzet:	1976/február, 61 - 62. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Részhalmazok, Logikai feladatok, Logikai műveletek és tulajdonságaik, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/október: F.2001

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az a) feltétel szerint van olyan ember, aki szereti a spenótót, és mégsem gyöngyhalász, nevezzük őt (ha többen vannak, közülük az egyiket) Sün Gyöngyinek. A b) feltétel miatt Gyöngyi nem tartozhat a zenerajongók táborába, hiszen azok között mindenki gyöngyhalász, és ő nem az, vagy legalábbis a spenótot nem szereti, amit viszont ő (ha nem is rajong érte), de szereti. Emiatt a c) feltételben mondott két állítás közül az első biztosan hamis, hiszen Sün Gyöngyi nem gyöngyhalász, mégsem rajong a zenéért. Tehát c)-nek a második fele lehet igaz, vagyis aki gyöngyhalász, nem zenerajongó.
Ennek tisztázása után már válaszolhatunk a felvetett kérdésre. Mindazok, akik szeretik a spenótot, vagy olyanok, mint Sün Gyöngyi, aki nem gyöngyhalász, és így ‐ mint beláttuk ‐ nem rajong a zenéért, vagy pedig amellett, hogy szeretik a spenótot, egyben gyöngyhalászok is, és emiatt nem rajonghatnak a zenéért. Tehát az $a$ , $b$ , $c$ , feltételekből következik, hogy aki szereti a spenótot, az nem zenerajongó.

Csúri Miklós (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., IV. o.t.)

II. megoldás. Jelöljük a spenótot szerető emberek számát

S

-sel, közülük

S G

-vel azokét, akik gyöngyhalászok, és

S \bar{G}

-sal azokét, akik nem gyöngyhalászok (az a) feltétel miatt

S \bar{G} > 0)

. Továbbá jelölje

S G Z

a spenótszerető gyöngyhalászok között a zenerajongók számát,

S G \bar{Z}

pedig közülük azokét, akik nem rajonganak a zenéért;

S \bar{G} Z

S \bar{G} \bar{Z}

jelentése pedig legyen hasonló, azok között, akik a spenótot szeretik, de nem gyöngyhalászok. Végül értelemszerűen terjesszük ki a jelölésünket a spenótot nem szeretőkre,

\bar{S} G Z

-vel,

\bar{S} G \bar{Z}

-vel,

\bar{S} G Z

-vel és

\bar{S} G \bar{Z}

-vel jelölve azok megfelelő csoportjaiban a tagok számát.

A b) feltétel azt jelenti, hogy

S \bar{G} Z = 0

, hiszen, aki a zenerajongók közt nem gyöngyhalász, az nem szereti a spenótot. Így a már mondott

S \bar{G} > 0

feltétel miatt

S \bar{G} \bar{Z} > 0

, hiszen

S \bar{G} = S \bar{G} Z + S \bar{G} \bar{Z}

A c) feltétel szerint vagy

\begin{matrix} S \bar{G} \bar{Z} + \bar{S} \bar{G} \bar{Z} = 0, \end{matrix}

(1)

vagy

\begin{matrix} S G Z + \bar{S} G Z = 0. \end{matrix}

(2)

Az első

S \bar{G} Z > 0

miatt nem teljesülhet, tehát (2) igaz, így

S G Z = 0

. Ezzel beláttuk, hogy

\begin{matrix} S G Z + S \bar{G} Z = 0, \end{matrix}

(3)

tehát aki szereti a spenótot, az nem zenerajongó.

Megjegyzés. A beküldött megoldások között igen sok volt hibás. Ennek oka elsősorban az volt, hogy a megoldók többet használtak fel a feltételekből, mint amit azok szó szerint jelentenek. Volt, aki úgy vette, hogy a

b

-ben mondott két eset kizárja egymást. Volt, aki az itt szereplő "legalábbis'' fordulatot úgy értelmezte, hogy a zenerajongókkal szemben minimális követelmény az, hogy ne szeressék a spenótot, vagyis már b) kimondja, hogy egy zenerajongó nem szereti a spenótot. Jónéhányan az a)-ból azt a következtetést vonták le, hogy minden gyöngyhalász szereti a spenótot (a "mégsem'' szó miatt). Végül voltak olyanok is, akik úgy vélték, hogy c) két fele ugyanazt jelenti. De a felsoroltakon kívül még sok más, súlyos logikai hiba fordult elő a dolgozatokban, ezek megszüntetése érdekében a jövőben gyakrabban tűzünk ki ilyen feladatot. Most is ‐ mint már annyiszor ‐ csak azt kérjük a megoldóinktól, gondosan olvassák el a feladatok szövegét, és ne bővítsék a feltételek körét, hiszen ezzel általában könnyebb feladatra jutnak, aminek a megoldása nem egyenértékű az eredetiével.