Kezdőlap


Feladat:	F.1999	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1976/január, 12 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Parabola egyenlete, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/szeptember: F.1999

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Helyezzük el koordináta-rendszerünket úgy, hogy a parabola csúcsérintője az $x$ tengellyel, a parabola tengelye az $y$ tengellyel essék egybe, az egységet pedig válasszuk meg úgy, hogy a parabola fókuszának két koordinátája $F (0, \frac{1}{4})$ legyen. Ekkor a parabola egyenlete: $y = x^{2}$ , vezéregyeneséé $y = - \frac{1}{4}$ .

Így a parabola tetszőleges két pontjának koordinátái

P_{1} (x_{1}, x_{1}^{2})

P_{2} (x_{2}, x_{2}^{2})

. A

P_{1}

P_{2}

pontokra illeszkedő egyenes meredeksége

\begin{matrix} m_{1} = \frac{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}}{x_{1} - x_{2}} = x_{1} + x_{2} . \end{matrix}

Írjuk fel az

F

-en átmenő,

P_{1} P_{2}

egyenesre merőleges egyenes egyenletét. Ha

m_{1} \neq 0

, akkor e merőleges egyenes meredekségét

m_{2}

-vel jelölve igaz, hogy

m_{1} \cdot m_{2} = - 1

, azaz

m_{2} = - \frac{1}{x_{1} + x_{2}}

. Az egyenes az

y

tengelyt az

F (0, \frac{1}{4})

pontban metszi, így egyenlete:

\begin{matrix} y = - \frac{1}{x_{1} + x_{2}} x + \frac{1}{4} . \end{matrix}

(2)

Q_{1}

, ill.

Q_{2}

pont koordinátái:

(x_{1};