Kezdőlap


Feladat:	F.1997	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1976/január, 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/szeptember: F.1997

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a feltétel éppen az $x$ -től $a$ távolságra levő helyekről mond valamit, azt reméljük, hogy a függvénynek van olyan periódusa, amely $a$ -nak többszöröse. Kezdjük el vizsgálatainkat ezek közül a legkisebbel, $2 a$ -val.

\begin{matrix} f (x + 2 a) = & \frac{1 + f (x + a)}{1 - f (x + a)} = \frac{1 + \frac{1 + f (x)}{1 - f (x)}}{1 - \frac{1 + f (x)}{1 - f (x)}} = \\ \frac{1 - f (x) + 1 + f (x)}{1 - f (x) - 1 - f (x)} = - \frac{1}{f (x)} . \end{matrix}

Tehát a

2 a

nem periódus, viszont látjuk, hogy

2 a

-val tovább menve a függvényérték negatív reciprokára változik. Így újabb

2 a

-t haladva, a függvényérték ismét negatív reciprokára változik, azaz az eredetit kapjuk vissza:

\begin{matrix} f (x + 4 a) = - \frac{1}{f (x + 2 a)} = f (x), \end{matrix}

tehát

4 a

periódusa a függvénynek.

Megjegyzés. Az

a

szám nem lehet periódus, mert

f (x + a) = f (x) = \frac{1 + f (x)}{1 - f (x)}

-ből ellentmondásra jutunk. Ebből az is látszik, hogy

a

nem lehet nulla.