Kezdőlap


Feladat:	F.1995	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Lenkei Péter
Füzet:	1976/január, 9. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletrendszerek, Logaritmusos egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/szeptember: F.1995

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első egyenletben szereplő kifejezéseknek csak $x > 0$ , $y > 0$ esetén van értelmük. Tetszőleges $a > 0$ számot fel tudunk írni $10$ hatványaként: $a = 10^{lg a}$ . Ennek, valamint a hatványozás és logaritmálás azonosságainak felhasználásával egyenletrendszerünk a következő alakot ölti:

\begin{matrix} 10^{lg x lg y} + 10^{\frac{1}{2} lg x lg y} = 110, lg x + lg y = 3. \end{matrix}

Itt az első egyenlet

10^{\frac{1}{2} lg x lg y}

-ra nézve másodfokú, gyökei

\begin{matrix} 10^{\frac{1}{2} lg x lg y} = 10 vagy 10^{\frac{1}{2} lg x lg y} = - 11. \end{matrix}

(1)

Ez utóbbi lehetetlen, mert

10

-nek bármely hatványa pozitív, az (1) szerint

\begin{matrix} lg x \cdot lg y = 2. \end{matrix}

Ismerjük a

lg

x és

lg y

számok összegét és szorzatát, így

lg x

és

lg y

\begin{matrix} z^{2} - 3 z + 2 = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei. Ennek ismeretében kapjuk az eredeti egyenletrendszer gyökeit:

\begin{matrix} x_{1} = 10, y_{1} = 100 és \\ x_{2} = 100, y_{2} = 10. \end{matrix}

Mindkét számpár valóban megoldás.

Lenkei Péter (Budapest, József A. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Ha már tudjuk, hogy a

10^{lg x 1g y} + 10^{\frac{1}{2} lg x lg y} = 110

egyenletnek

lg x \cdot lg y = 2

gyöke, az, hogy más gyök nem lehet, az exponenciális függvény szigorúan monoton növekedő voltából is látható.