Kezdőlap


Feladat:	F.1993	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1976/október, 62 - 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatok szimmetriái, Középpontos tükrözés, Vetítések, Hiperbola egyenlete, Szimmetrikus alakzatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/május: F.1993

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessük be a $K, M, P$ pontok jelölésére a következő koordinátákat:

\begin{matrix} K : (a, 1 / a), M : (b, 1 / b), P : (c, 1 / c) \end{matrix}

(ahol természetesen

a b c \neq 0

). Mivel

K

és

L

az origóra szimmetrikus pontok,

L : (- a, - 1 / a)

Számítsuk ki a

P

pont

K M

egyenesre való vetületének távolságát az origótól.
A

K M

egyenes egyenlete:

x + a b y = a + b

.
A

P

-n átmenő,

K M

-re merőleges egyenes egyenlete:

\begin{matrix} x = \frac{1}{a b} y + c - \frac{1}{a b c} . \end{matrix}

A két egyenes metszéspontja

(x_{0}, y_{0})

\begin{matrix} x_{0} = a + b - a b y = \frac{1}{a b} y + c - \frac{1}{a b c} \\ y_{0} = \frac{a + b - c + \frac{1}{a b c}}{a^{2} b^{2} + 1} \cdot a b \end{matrix}

Ebből

x_{0}

-ra

\begin{matrix} x_{0} = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{c} + a b c}{a^{2} b^{2} + 1} a b . \end{matrix}

(x_{0}, y_{0})

pont távolsága az origótól (az egyszerűség kedvéért vegyük a négyzetét):

\begin{matrix} x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = \frac{a^{2} b^{2}}{{(a^{2} b^{2} + 1)}^{2}} (a^{2} + \frac{1}{a^{2}} + b^{2} + \frac{1}{b^{2}} + c^{2} + \frac{1}{c^{2}} + a^{2} b^{2} c^{2} + \frac{1}{a^{2} b^{2} c^{2}}) . \end{matrix}

A négyzetre emelésekből a 2-szeres szorzatok összege

0

.)
Látható, hogy a fönti kifejezésben

a

csak páros kitevőjű hatványon fordul elő, ezért ha most

K (a,1 / a)

, helyett

L (- a, - 1 / a)

-val számoljuk ugyanezt végig, az előjelváltozás nem jelentkezik a végeredményben, tehát a

P

pontnak az

L M

egyenesre való vetülete ugyanakkora távolságra van az origótól, mint a

K M

egyenesre való vetület; és ezt kellett bizonyítani.