Kezdőlap


Feladat:	F.1991	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Balázs I. , Benyák Gabriella , Bezdek A. , Bodó Z. , Brindza B. , Csapó Ildikó , Dobos Gy. , Fejér J. , Gáti T. , Gombos J. , Hídvégi Z. , Holop L. , Honos A. , Hornung T. , Horváth Á. , Horváth J. , Husvéti T. , Ivanyos G. , Jakab T. , Kiss b. , Knébel I. , Lévai L. , Major Z. , Márkus G. , Nagy I. , Nagy J. , Neumüller I. , Orosz Gy. , Palotai T. , Pap L. , Pintér Klára , Sali A. , Schmidt P. , Seress Á. , Soukup L. , Surján P. , Szabó K. , Szabó S. , Szőnyi T. , Szűcs Gy. , Tokodi J. , Tornóczi L. , Tóth Cs. , Wolf Gy.
Füzet:	1976/szeptember, 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Binomiális együtthatók, Egészrész, törtrész függvények, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/május: F.1991

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $[\frac{n}{p}] = k$ , akkor $n$ -et felírhatjuk

\begin{matrix} n = k p + m \end{matrix}

alakban, ahol

k

m

egészek és

0 \leq m < p

. Azt kell igazolnunk, hogy

(\binom{n}{p}) p

-vel osztva éppen

k

-t ad maradékul.

\begin{matrix} (\binom{n}{p}) = \frac{(k p + m) (k p + m - 1) ... k p ... (k p + m - p + 1)}{p!} = \end{matrix}

\begin{matrix} k \frac{(k p + m) ... (k p + 1) (k p - 1) ... (k p + m - p + 1)}{(p - 1)!} . \end{matrix}

A számlálóban eredetileg

p

db egymás után következő szám állott, ezek maradékai

p

-vel osztva mind különbözők, tehát valamilyen sorrendben

0, 1, 2, ..., p - 1

. Közülük a

p

-vel osztható maradt ki, ezért kifejezésünk így alakítható tovább:

\begin{matrix} (\binom{n}{p}) = k \cdot \frac{q p + (p - 1)!}{(p - 1)!} = \frac{k q p}{(p - 1)!} + k . \end{matrix}

(1)

Az (1)

p

-vel osztva valóban

k

-t ad maradékul, hiszen az összeg első tagja osztható

p

-vel, mivel egész szám, és nevezője relatív prím

p

-hez.

Megjegyzés. A kitűzött példa megoldásával együtt megtalálható Skljarszkij-Csencov-Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből c. könyvében (I. rész, Aritmetika és algebra, 107. feladat). Sajnos a feladat kitűzésekor ezt még nem tudtuk.