Feladat: F.1989 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Balázs I. ,  Bezdek A. ,  Bindza B. ,  Binzberger G. ,  Csúri Miklós ,  Fehér J. ,  Frankó F. ,  Ivanyos G. ,  Jakab T. ,  Márkus G. ,  Mihályfi Gy. ,  Nagy I. ,  Pintér Klára ,  Seress Á. ,  Soukup L. ,  Surján P. ,  Szalay S. ,  Szilárd R. ,  Tornóci L. 
Füzet: 1976/január, 7 - 8. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Differenciálszámítás, Határértékszámítás, folytonosság, differenciálhatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/május: F.1989

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sinx függvény differenciahányadosa

sin(x+h)-sinxh=sinxcosh-1h+cosxsinhh.
Itt limh→0sinhh=1 (gimnáziumi tankönyv III. osztály, 221. old.), emiatt
limh→0cosh-1h=-limh→02sin2h2h=0,
és így
limh→0sin(x+h)-sinxh=cosx.
Ez azt jelenti, hogy az s(x)=sinx, c(x)=cosx függvényekre teljesül (1). Mivel cosx=sin(x+π2), e függvény deriváltja
(cosx)'=[sin(x+π2)]'=cos(x+π2)=-sinx
Tehát az s(x)=sinx, c(x)=cosx függvényekre (2) is teljesül. Nyilvánvalóan teljesül rájuk (3) is, nekünk azonban nemcsak azt kell megmutatnunk, hogy ezekre a függvényekre teljesülnek az (1)‐(3) feltételek, hanem azt is, hogy ezek a feltételek más függvénypárra nem teljesülhetnek.
Legyen s(x), c(x) tetszőleges függvénypár, amelyre teljesülnek az (1)‐(3) feltételek, és tekintsük az s(x)-sinx, c(x)-cosx különbségeket. Azt kell belátnunk, hogy e különbségek azonosan egyenlőek 0-val, ehelyett azt látjuk be, hogy a négyzetösszegük azonosan 0. Mivel az
f(x)=(s(x)-sinx)2+(c(x)-cosx)2
függvény értéke x=0 mellett 0, a feladatban mondott tétel alapján elegendő, ha megmutatjuk, hogy f'(x)=0 minden x-re.
Vizsgáljuk meg először, hogy ha g(x) tetszőleges deriválható függvény, deriválható-e a G(x)=(g(x))2 függvény, és ha igen, mivel egyenlő a deriváltja. Mivel
G(x+h)-G(x)h=g(x+h)-g(x)h⋅g[(x+h)+g(x)]
és itt g differenciálhatósága miatt
limh→0g(x+h)-g(x)h=g'(x),
valamint
limh→0[g(x+h)+g(x)]=2g(x)+limh→0hg(x+h)-g(x)h=2g(x),
tehát G(x) deriválható, és deriváltja 2g'(x)g(x). Emiatt f(x) deriválható, és deriváltja
f'(x)=2(s'(x)-cosx)(s(x)-sinx)+2(c'(x)+sinx)(c(x)+cosx),
ami (1), (2) szerint valóban 0.
 

Csúri Miklós (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o. t.)

 

Megjegyzés. Megoldásunk végén azt is beláttuk, hogy ha g(x) az a≤x≤b intervallumban deriválható, akkor ott folytonos is, hiszen tetszőleges a≤x≤b mellett
limh→0g(x+h)=g(x)+limh→0h⋅g(x+h)-g(x)h=g(x).
Ismeretes, hogy a zárt intervallumban folytonos függvények az intervallum belsejében vagy határán a maximumukat is, minimumukat is felveszik (gimnáziumi tankönyv IV. oszt., 89. old.). Ebből következik, hogy ha g(a)=g(b), akkor van olyan a<x0<b hely, ahol g'(x0)=0, és általában, tetszőleges, az a≤x≤b intervallumban differenciálható g(x) függvényhez található olyan a<x0<b hely, amelyre
g'(x0)=g(b)-g(a)b-a
teljesül. Ez az ún. Lagrange-féle középérték-tétel, mely a differenciálható függvények vizsgálatának az alapja. A feladatban felhasznált tétel is ebből következik, hiszen e tétel szerint tetszőleges a≤x1<x2≤b számokhoz található olyan x0, amelyre x1<x0<x2, és
g'(x0)=g(x2)-G(x1)x2-x1,
ha tehát g'(x) az a≤x≤b intervallumban azonosan 0, akkor tetszőleges a≤x1≤x2≤b mellett g(x1)=g(x2), azaz g(x) értéke az (a,b) intervallumban állandó. Hasonlóan igazolható, hogy ha a≤x≤b mellett g'(x)>0, akkor az (a,b) intervallumban g(x) monoton nő, ha pedig ott g'(x) negatív, akkor g(x) monoton fogy (vö. gimnáziumi tankönyv III. oszt., 270‐273. old.).