Kezdőlap


Feladat:	F.1987	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1976/március, 97 - 99. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Numerikus és grafikus módszerek, Szinusztétel alkalmazása, Sokszögek szerkesztése, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/április: F.1987

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $k$ sugarát $r$ -rel, így a $B G = r$ alappal és $D B = D G = r \sqrt[]{3}$ szárakkal meghatározott háromszögből

\begin{matrix} cos D B G ∢ = cos β = \frac{1}{2 \sqrt[]{3}}, sin β = \frac{\sqrt[]{11}}{2 \sqrt[]{3}} . \end{matrix}

B C H

háromszög

H

-nál levő szöge

120^{\circ} - β

, hiszen nyilván

B C H ∢ = 30^{\circ}

és

C B H ∢ = 30^{\circ} + β

, ezért a sinustétel, majd az összegezési képlet alapján

\begin{matrix} \frac{B H}{B C} & = \frac{sin 30^{\circ}}{sin (120^{\circ} - β)} = \frac{1}{\sqrt[]{3} cos β + sin β}, \\ B H & = \frac{2 r}{1 + \sqrt[]{\frac{11}{3}}} = \frac{2 \sqrt[]{3} r}{\sqrt[]{11} + \sqrt[]{3}} = \frac{r}{4} (\sqrt[]{33} - 3) . \end{matrix}

És mivel táblázatunk szerint

5, 7445 < \sqrt[]{33} < 5, 7455

, ezért

\begin{matrix} 0, 6861 r < B H < 0, 6864 r . \end{matrix}

Másrészt a szabályos 9-szög oldala

a_{9} = 2 r sin 20^{\circ}

, és itt

0, 34195 < sin 20^{\circ} <

< 0, 34205

, tehát

\begin{matrix} 0, 6839 r < a_{9} < 0, 6841 r . \end{matrix}

Ezek szerint

B H

felülről közelíti

a_{9}

-et, és hibája kisebb, mint

(0, 6864 -

- 0, 6839) r = 0, 0025 r

, ami a szerkesztett szakasz 4

‰

-énél kisebb hiba.

Megjegyzések. 1. Ábránkon a

B

D

és a

C

-vel átellenes

C^{*}

pontok körüli

B H

sugarú körívekkel a közelítő 9-szög csúcsait is kijelöltük.
2. Többjegyű táblázat szerint a hiba kisebb, mint

0, 0022 r

és nem éri el a 3

‰

-et.
3. Szemléletesség kedvéért megadjuk a közelítés szöghibáját is: a

B H

-hoz mint húrhoz tartozó

2 α

középponti szög

40^{\circ} 7'

és

40^{\circ} 8'

közé esik,

a_{9}

-hez pedig

40^{\circ}

tartozik, tehát a szög hibája kisebb 8 szögpercnél, relatív hibája

1 / 300

.
4. Az alábbi számítás szerint csak egyszer használjuk a sinustáblázatot.

sin 3 α = sin α (3 - 4 sin^{2} α) = \frac{\sqrt[]{33} - 3}{8} \cdot \frac{3 + 3 \sqrt[]{33}}{8} = \frac{45 - 3 \sqrt[]{33}}{32} = 0, 8677

3 α = 60^{\circ} 11, 5'

5. A szerkesztést Fr. Fronek közölte, aki akkor szakközépiskolai tanuló volt Steyr-ben (Ausztria).