Kezdőlap


Feladat:	F.1984	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Binzberger G. , Borsodi D. , Brindza B. , Böősi I. , Dobos Gy. , Fehér J. , Gáti I. , Gelencsér Zsuzsanna , Homonnay G. , Honos A. , Horváth I. , Hujter M. , Husvéti T. , Ivanyos G. , Jakab Tibor , Kóczy Annamária , Koltay K. , Kramarics G. , Madocsai Zs. , Major Z. , Márkus G. , Nagy I. , Nyoszoli T. , Pálmai P. , Papp L. Dezső , Piszkor L. , Seress Á. , Szabó K. , Szalontai S. , Tokodi J. , Tornóci L. , Tóth Annamária , Vancsó Ö. , Vindics J.
Füzet:	1976/április, 162 - 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/április: F.1984

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Végezzük el a következő átalakítást:

\begin{matrix} n & \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} - (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}) = (a_{1} - a_{2}) (b_{1} - b_{2}) + \\ + (a_{1} - a_{3}) (b_{1} - b_{3}) + ... + (a_{1} - a_{n}) (b_{1} - b_{n}) + \\ + (a_{2} - a_{3}) (b_{2} - b_{3}) + ... + (a_{2} - a_{n}) (b_{2} - b_{n}) + ... + \\ + (a_{n - 1} - a_{n}) (b_{n - 1} - b_{n}) . \end{matrix}

A zárójeleket mindkét oldalon felbontva, meggyőződhetünk róla, hogy az egyenlőség helyes. Feltételünk szerint a jobb oldali összeg egyik tagja sem lehet negatív, amivel az állítást máris igazoltuk. Könnyen ellenőrizhetjük a fenti átalakítás alapján, hogy egyenlőség akkor és csak akkor lép fel, ha az

a_{1} = ... = a_{n}

és a

b_{1} = ... = b_{n}

egyenlőségláncoknak legalább egyike teljesül.
A bizonyításból az is látszik, hogy monoton csökkenő sorozatok esetében is igaz az egyenlőtlenség, ha pedig az

a_{n}

sorozat monoton növő, és a

b_{n}

csökkenő, akkor az egyenlőtlenség iránya megfordul.

II. megoldás. Legyen

c_{1}, c_{2}, ..., c_{n}

b_{1}, ..., b_{n}

sorozat egy tetszőleges permutációja. Belátjuk, hogy ekkor

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} c_{i} ≦ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} . \end{matrix}

(1)

Ha valamely

i < j

indexpárra

c_{i} > c_{j}

, akkor a

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} c_{k}

összegben cseréljük fel

c_{i}

-t és

c_{j}

-t egymással. Ezzel az összeg értéke biztosan nem csökken, hiszen

(a_{j} - a_{i}) (c_{i} - c_{j}) ≧ 0

miatt

a_{i} c_{i} + a_{j} c_{j} ≦ a_{i} c_{j} + a_{j} c_{i}

. Véges sok csere végrehajtásával a

c_{1}, ..., c_{n}

számok olyan

d_{1}, ..., d_{n}

permutációjához jutunk, amelyben

i < j

már

i < j

esetén

d_{i} ≦ d_{j}

teljesül minden indexpárra. Ekkor persze

b_{i} = d_{i}

minden

i = 1, ..., n

-re, és mivel a végrehajtott cserék során az összeg értéke egyetlen lépésnél sem csökkent, valóban fennáll az (1) egyenlőtlenség.
Ezek alapján már könnyen következik a feladat állítása.
A

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}

összegbe írjuk be a

b_{1}, ..., b_{n}

számok valamennyi ciklikus permutációját, így a fentiek szerint

\begin{matrix} a_{1} b_{k} + a_{2} b_{k + 1} + ... + a_{n} b_{k - 1} ≦ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} (k = 1, ..., n) . \end{matrix}

Ezeket az egyenlőtlenségeket összeadva a feladat állítását nyerjük. Könnyen látható, hogy az egyenlőség akkor és csak akkor állhat fenn, ha

a_{1} = ... = a_{n}

és

b_{1} = ... = b_{n}

egyike teljesül.

Jakab Tibor (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Jelöljük az

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

, illetve

b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}

szám-

n

-eseket

a

-val,

b

-vel, a bizonyított egyenlőtlenség jobb és bal oldalának a különbségét

C (a, b)

-vel:

\begin{matrix} C (a, b) = n \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} - (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}), \end{matrix}

a_{i}

b_{i}

számok átlagát pedig

\bar{a}

-sal,

\bar{b}

-sal:

\begin{matrix} \bar{a} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i}, \bar{b} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} b_{i} . \end{matrix}

Nem nehéz belátni, hogy

\begin{matrix} C (a, b) = n \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - \bar{a}) (b_{i} - \bar{b}), \end{matrix}

(2)

ugyanis

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - \bar{a}) (b_{i} - \bar{b}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} - a_{i} \bar{b} - \bar{a} b_{i} + \bar{a} \cdot \bar{b} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} - \bar{b} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} - \bar{a} \sum_{i = 1}^{n} b_{i} + n \bar{a} \cdot \bar{b}, \end{matrix}

és itt az utolsó három tag mindegyike egyenlő

\frac{1}{n} (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i})

-vel. A

C (a, b)

-nek (2) alakjából látszik, hogy ha akár az

a_{i}

, akár a

b_{i}

számokat ugyanazzal a számmal megnöveljük,

C (a, b)

értéke változatlan marad. Ennek alapján is bizonyítható a feladatban szereplő egyenlőtlenség

n

szerinti indukcióval, a mondott eltolással el lehet ugyanis érni, hogy

a_{1} = b_{1} = 0

legyen.
Ha speciálisan

a = b

, a

C (a, b) ≧ 0

egyenlőtlenség közvetlenül kiolvasható a (2) előállításból. A

C (a, a)

szám azt mutatja meg, mennyire szóródnak az

a_{i}

számok az

\bar{a}

átlag körül, ezért a matematikai statisztikában ezt a mennyiséget széles körben használják. Maga a

C (a, b)

mennyiség az

a_{i}

b_{i}

számok változásainak kölcsönhatását mutatja, pozitív

C

inkább az egyirányú, negatív

C

az ellentétes irányú változásokra utal. Például ha

a_{i}

az osztály

i

-ik tanulójának a magassága,

b_{i}

pedig a súlya, és a tanulókat eleve a magasságuk szerint állítottuk sorba, tehát

a_{1} ≦ a_{2} ≦ ... ≦ a_{n}

(ahol

n

az osztály létszáma), ha a

b_{1} ≦ b_{2} ≦ ... ≦ b_{n}

egyenlőtlenség általában nem is teljesül,

C (a, b)

értéke az esetek többségében mégis pozitív. Ezért ezt a mennyiséget a statisztikában az

a

b

mennyiségek kölcsönhatásának a mérésére használják, és az

a

b

számok kovarianciájának nevezik. (Pontosabban mondva a

C (a, b)

szám

n (n - 1)

-ed része a kovariancia.) Mivel ez a szám még nagy mértékben függ az

a_{i} b_{i}

számok mérésénél használt egységtől, többet mond nála az

\begin{matrix} R (a, b) = \frac{C (a, b)}{\sqrt[]{C (a, a) \cdot C (b, b)}} \end{matrix}

hányados, melyet korrelációs együtthatónak neveznek. Belátható, hogy

- 1 ≦ R (a, b) ≦ 1

, és

| R (a, b) | = 1

akkor és csakis akkor teljesül, ha van olyan

λ

és

μ

, amelyekkel

b_{i} = λ a_{i} + μ

teljesül minden

i

-re. Ha az

a_{i}

b_{i}

számpárokat egy koordináta-rendszerben ábrázoljuk, a kapott pontokhoz bizonyos értelemben legjobban simuló egyenes egyenlete

\begin{matrix} y - \bar{b} = λ (x - \bar{a}), \end{matrix}

(3)

ahol

\begin{matrix} λ = \frac{C (a, b)}{C (a, a)} \end{matrix}

az ún. regressziós együttható. Az érdeklődő olvasónak gyakorlásul javasoljuk, hogy a környezetében található összetartozó

a_{i}, b_{i}

számpárokat gyűjtse össze, ábrázolja, és rajzolja meg hozzájuk a (3) egyenletű egyenest. Ha az

a_{i}

számok az idő múlását mérik, és a

b_{i}

számok valamilyen időben lezajló jelenséggel kapcsolatosak, a kapott egyenes jól tükrözi a jelenségnek a vizsgált időszakban megmutatkozó fő tendenciáját, szokásos kifejezéssel élve, a jelenség trendjét. Ennek segítségével vizsgálhatjuk például a termelés különböző mutatóinak az alakulását, és e vizsgálatok alapján határozhatjuk meg e mutatók jövőbeni viselkedését is.