Kezdőlap


Feladat:	F.1983	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bezdek András , Binzberger Gábor , Brindza Béla , Csúri Miklós , Fehér József , Fehér Zoltán , Gombos János , Honos Attila , Hornung Tamás , Horváth 132 Erzsébet , Hujter Mihály , Hunyadi 593 László , Húsvéti Tamás , Jakab Tibor , Knébel István , Koller György , Koltay Károly , Láng András , Lugosi Erzsébet , Major Zoltán , Mikoss László , Nagy 269 János , Nagy 452 László , Nagy 578 Imre , Nyoszoli Tamás , Seress Ákos , Soukup Lajos , Szalay Viktor , Szilárd Róbert , Tokodi Jenő , Vancsó Ödön
Füzet:	1975/november, 128 - 129. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/április: F.1983

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Keressük a $p (x)$ és $q (x)$ másodfokú polinomot $p (x) = a x^{2} + b x + c$ és $q (x) = r x^{2} + s x + t$ alakban. Ha a $p (q (x))$ összetett függvény azonos az $f (x)$ polinommal, akkor a megfelelő együtthatók megegyeznek, és így az együtthatók összehasonlításával az

\begin{matrix} a r^{2} & = A, \\ 2 a r s & = B, \\ 2 a r t + a s^{2} + b r & = C, \\ 2 a s t + b s & = D, \\ a t^{2} + b t + c & = E \end{matrix}

egyenletrendszerre jutunk. A kérdéses előállításnak tehát szükséges és elégséges feltétele, hogy ez a rendszer az

a

b

c

r

s

t

ismeretlenekre megoldható legyen. Világos, hogy az utolsó egyenletet figyelmen kívül hagyhatjuk, ugyanis

c

csak ebben szerepel, ha tehát

a

b

és

t

értékét már valahogy meghatároztuk,

c

-t mindig megválaszthatjuk úgy, hogy az ötödik egyenlet teljesüljön. Az

A \neq 0

feltételből az első egyenlet alapján

a \neq 0

és

r \neq 0

. Az első egyenlettel a további hármat végigosztva a

\begin{matrix} \frac{B}{A} & = 2 \frac{s}{r}, \\ \frac{C}{A} & = 2 \frac{t}{r} + \frac{s^{2}}{r^{2}} + \frac{b}{a r}, \\ \frac{D}{A} & = (2 \frac{t}{r} + \frac{b}{a r}) \frac{s}{r} \end{matrix}

egyenletekre jutunk és ezekből

\begin{matrix} (\frac{C}{A} - \frac{1}{4} \frac{B^{2}}{A^{2}}) \frac{1}{2} \cdot \frac{B}{A} = \frac{D}{A}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} D = \frac{B C}{2 A} - \frac{B^{3}}{8 A^{2}} . \end{matrix}

(*)

Ahhoz tehát, hogy az

f (x) = p (g (x))

előállítás lehetséges legyen,

f

együtthatói között teljesülnie kell a fenti egyenlőségnek, hiszen következménye az együtthatókra felírt egyenletrendszernek. Másrészt, ha a

(^{*})

egyenlet teljesül, akkor az egyenletrendszer megoldható: legyen pl.

r = 1

t = 0

, az első egyenletből

a = A

, a másodikból

s = \frac{B}{2 A}

, a harmadikból

b = C - \frac{B^{2}}{4 A}

és

(^{*})

biztosítja, hogy a negyedik egyenlet ezzel nincs ellentmondásban, végül az ötödik egyenletből

c

is kifejezhető.

Hornung Tamás (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., IV. o. t.)