Kezdőlap


Feladat:	F.1981	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Füzet:	1978/november, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Paralelogrammák, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/március: F.1981

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a $B A C$ szöget $α$ -val, és $A$ -nak a $B_{1} C_{1}$ szakasz felező merőlegesére vonatkozó tükörképét $A^{*}$ -gal. Mivel $A$ -nak a $B_{1} C_{1}$ egyenesre vonatkozó tükörképe $A_{0}$ , azért $A^{*}$ és $A_{0}$ a $B_{1} C_{1}$ szakasz felezőpontjára nézve szimmetrikusan helyezkednek el, az $A_{0} B_{1} A^{*} C_{1}$ négyszög paralelogramma.

Legyen

M

A B_{1} C_{1}

háromszög köré írt

k

kör és az

A_{0} A^{*}

egyenes

A^{*}

-tól különböző metszéspontja (

A^{*}

természetesen a

k

körön van). Ha

α < 90^{\circ}

, akkor

A_{0}

k

-n kívül van, tehát

M

A^{*} A_{0}

szakasz belső pontja; ha

α = 90^{\circ}

A_{0}

és

M

azonosak; ha pedig

α > 90^{\circ}

, akkor

M

A^{*} A_{0}

szakasz

A_{0}

-on túli meghosszabbításán van.
A kerületi szögek tétele szerint

M

-ből és

B_{1}

-ből az

A^{*} C_{1}

szakasz egyenlő szög alatt látszik, tehát

A^{*} M C_{1} ∢ = A^{*} B_{1} C_{1} ∢ = A B C ∢

. Ha

α < 90^{\circ}

, ez azt jelenti, hogy a

B A_{0} M C_{1}

négyszög

M

-nél levő külső szöge egyenlő a

B

-nél levő belső szöggel, tehát

M

rajta van az

A_{0} B C_{1}

háromszög köré írt

k_{b}

körön.
Ha

α > 90^{\circ}

M

és

B

A_{0} C_{1}

szakasznak ugyanazon az oldalán van, és a mondott egyenlőség miatt a szakasz a két pontból egyenlő szög alatt látszik. Most tehát ezért lesz

M

A_{0} B C_{1}

háromszög köré írható körön. ‐ Ha pedig

α = 90^{\circ}

, ez

A_{0}

és

M

azonossága miatt nyilvánvaló.
Hasonlóan látható be, hogy

M

A_{0} B_{1} C

háromszög köré írható körön is rajta van. (Ez különben csak a

B

C

jelek cseréje.) Mivel

M

általunk adott definíciója szerint

M

nyilvánvalóan rajta van a

B_{1} C_{1}

szakasz felezőpontja és

A_{0}

által meghatározott egyenesen, a feladat állításait ezzel beláttuk.