Kezdőlap


Feladat:	F.1978	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Böősi Imre , Fehér József , Fodor János , Hornung Tamás , Ivanyos Gábor , Jakab Tibor , Jónás Béla , Kóczy Annamária , Koltay Károly , Láng András , Márkus Gábor , Pálmai Péter , Ságody Loránd , Seress Ákos , Tokody Jenő
Füzet:	1976/március, 97. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/március: F.1978

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $X = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ és $Y = \sum_{i = 1}^{n} y_{i}$ jelölést bevezetve $X > 0$ és $Y > 0$ , és egyszerű átalakítás után a bizonyítandó egyenlőtlenség

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} 2 x_{i} y_{i} \leq \frac{Y}{X} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + \frac{X}{Y} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} \end{matrix}

alakba írható. Egy oldalra rendezve, az egyenlőtlenség a

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} \sqrt[]{\frac{Y}{X}} - y_{i} \sqrt[]{\frac{X}{Y}})}^{2} \geq 0 \end{matrix}

alakot ölti, ami nyilvánvalóan teljesül.
Valamennyi lépésben megfordítható átalakítást végeztünk, és ezzel a feladat állítását beláttuk. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha az utolsó egyenlőtlenségben valamennyi négyzetre emelt szám zérus, azaz

x_{i} = \frac{X}{Y} y_{i}

minden

i

-re teljesül.
Ságody Loránd (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)