Kezdőlap


Feladat:	F.1977	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Ivanyos Gábor
Füzet:	1975/november, 127 - 128. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/március: F.1977

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyszerű trigonometrikus átalakítással kapjuk, hogy

\begin{matrix} sin 3 α = 3 sin α - 4 sin^{3} α, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} sin 30^{\circ} = 3 sin 10^{\circ} - 4 sin^{3} 10^{\circ}, \end{matrix}

azaz

sin 10^{\circ}

gyöke a

4 x^{3} - 3 x + 1 / 2 = 0

egyenletnek, vagy ami ezzel ekvivalens, a

\begin{matrix} 8 x^{3} - 6 x + 1 = 0 \end{matrix}

egyenletnek is. Megmutatjuk, hogy ennek nincs racionális gyöke. Ha volna, legyen

p / q

a gyök redukált alakja ‐ ahol

p

és

q

egész számok ‐ és helyettesítsük ezt az egyenletbe. Innen

q^{3}

-bel szorozva, a

\begin{matrix} 8 p^{3} - 6 p q^{2} + q^{3} = 0 \end{matrix}

egyenlőséget kapjuk, amiből következik, hogy

q^{3}

osztható

p

-vel, és

8 p^{3}

osztható

q^{2}

-tel. Mivel

p

és

q

relatív prímek, az első oszthatóságból

p = \pm 1

következik, a másodikból pedig az, hogy

q^{2}

osztója

8

-nak. Így végül is a

p / q = \pm 1

\pm 1 / 2

esetek adódnak, de e számok egyike sem gyöke az egyenletnek.

Ivanyos Gábor (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)