|
Feladat: |
F.1973 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Bíró Cs. , Fehér J. , Kramarics G. , Márkus G. , Nagy J. , Nőthig L. , Papp L. , Plutzer I. , Ruppert L. , Soukup L. , Szőnyi T. |
Füzet: |
1976/január,
4 - 5. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Sorozat határértéke, Indirekt bizonyítási mód, Számsorozatok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1975/február: F.1973 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mivel a függvény értékkészlete a zárt intervallum, . Jelöljük -et -gyel, és -ből kiindulva állítsuk elő az rekurzióval definiált sorozat tagjait. Ha , akkor az és sorozatok azonosak, ha pedig , akkor miatt . Megmutatjuk, hogy ha , akkor az sorozat konvergens, és a határértéke , amiből a fentiek alapján következik, hogy is konvergens, és a határétéke . Ha , akkor , tehát ha , akkor (1) szerint , így Mivel a szakaszon , az sorozat monoton fogy. Tegyük fel állításunkkal ellentétben, hogy a nem határértéke a sorozatnak. Ez azt jelenti, hogy van olyan szám, amelyhez és tetszőleges természetes számhoz található olyan index, melyre teljesül. (2) szerint , tehát (3) szerint . Mivel a sorozat monoton fogy, ebből következik, hogy minden indexre, nevezetesen minden indexre. Mivel itt tetszőleges, azt kaptuk, hogy Megmutatjuk, hogy a szakaszon az függvény monoton nő. Valóban, a függvény deriváltja ezen a szakaszon pozitív: Emiatt (4) esetén teljesülne tetszőleges -re, amiből | | következne, ami nyilván nem lehet, hiszen miatt itt a jobb oldal tetszőlegesen nagy lehet, viszont egy adott szám. Ezzel beláttuk, hogy ellentmondásra vezet az a feltétel, hogy az sorozat nem konvergál -hoz, tehát konvergens, és a határértéke .
Megjegyzés. Megoldásunkban az indirekt feltétel nem az volt, hogy konvergens, de nem a határértéke, hanem az, hogy nem igaz az, hogy konvergens, és a határértéke. Ami azt jelenti, hogy vagy nem konvergens, vagy konvergens, de nem a határértéke. Általában, ha egy sorozat monoton fogy, és alulról korlátos, akkor konvergens is ‐ mi azonban nem akartuk felhasználni megoldásunkban ezt a tételt, hiszen nem szerepel a középiskolai tananyagban. Lásd F 1989. megoldását ezen számban. |
|