Feladat: F.1973 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Bíró Cs. ,  Fehér J. ,  Kramarics G. ,  Márkus G. ,  Nagy J. ,  Nőthig L. ,  Papp L. ,  Plutzer I. ,  Ruppert L. ,  Soukup L. ,  Szőnyi T. 
Füzet: 1976/január, 4 - 5. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Sorozat határértéke, Indirekt bizonyítási mód, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/február: F.1973

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a sinx függvény értékkészlete a zárt [-1,1] intervallum, |a1|=|sina0|≤1. Jelöljük |a1|-et x1-gyel, és x1-ből kiindulva állítsuk elő az

xn+1=sinxn,n=1,2,...(1)
rekurzióval definiált sorozat tagjait. Ha a1≥0, akkor az an és xn sorozatok azonosak, ha pedig a1<0, akkor sin(-x)=-sinx miatt an=-xn. Megmutatjuk, hogy ha 0≤x1≤1, akkor az xn sorozat konvergens, és a határértéke 0, amiből a fentiek alapján következik, hogy an is konvergens, és a határétéke 0.
Ha 0≤x≤1, akkor 0≤sinx≤1, tehát ha 0≤xn≤1, akkor (1) szerint 0≤xn+1≤1, így
0≤xn≤1,n=1,2,...(2)
Mivel a 0≤x≤1 szakaszon sinx<x, az xn sorozat monoton fogy. Tegyük fel állításunkkal ellentétben, hogy a 0 nem határértéke a sorozatnak. Ez azt jelenti, hogy van olyan ε>0 szám, amelyhez és tetszőleges n természetes számhoz található olyan N≥n index, melyre
|xN-0|≥ε(3)
teljesül. (2) szerint xN>0, tehát (3) szerint xN≥ε. Mivel a sorozat monoton fogy, ebből következik, hogy xk≥ε minden k≤N indexre, nevezetesen minden k≤n indexre. Mivel itt n tetszőleges, azt kaptuk, hogy
xn≥ε,n=1,2,....(4)

Megmutatjuk, hogy a 0<x≤1 szakaszon az
f(x)=x-sinx(5)
függvény monoton nő. Valóban, a függvény deriváltja* ezen a szakaszon pozitív:
f'(x)=1-cosx>0.
Emiatt (4) esetén
xn-xn+1=f(xn)>f(ε)>0
teljesülne tetszőleges n-re, amiből
x1>x1-xn+1=(x1-x2)+(x2-x3)+...+(xn-xn+1)>nf(ε)
következne, ami nyilván nem lehet, hiszen f(ε)>0 miatt itt a jobb oldal tetszőlegesen nagy lehet, x1 viszont egy adott szám.
Ezzel beláttuk, hogy ellentmondásra vezet az a feltétel, hogy az xn sorozat nem konvergál 0-hoz, tehát xn konvergens, és a határértéke 0.
 

Megjegyzés. Megoldásunkban az indirekt feltétel nem az volt, hogy xn konvergens, de nem 0 a határértéke, hanem az, hogy nem igaz az, hogy xn konvergens, és 0 a határértéke. Ami azt jelenti, hogy xn vagy nem konvergens, vagy konvergens, de nem 0 a határértéke. Általában, ha egy sorozat monoton fogy, és alulról korlátos, akkor konvergens is ‐ mi azonban nem akartuk felhasználni megoldásunkban ezt a tételt, hiszen nem szerepel a középiskolai tananyagban.
*Lásd F 1989. megoldását ezen számban.