Feladat: F.1972 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Bezdek A. ,  Biró J. ,  Brindza B. ,  Böősi I. ,  Dobos Gy. ,  Dózsa L. ,  Fehér J. ,  Gáti T. ,  Ivánkay J. ,  Jani G. ,  Knébel I. ,  Kóczy Annamária ,  Kovács J. ,  Krausz T. ,  Láng A. ,  Láng Gy. ,  Lovász A. ,  Major Z. ,  Mikoss L. ,  Nikodémusz A. ,  Pálmai P. ,  Pintér Klára ,  Réti Z. ,  Smidt J. ,  Soukup L. ,  Szabó Judit ,  Szőnyi T. ,  Tornóci L. ,  Varga B. ,  Wolf Gy. ,  Zelhofer W. 
Füzet: 1975/november, 125 - 126. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szélsőérték differenciálszámítással, Trigonometrikus egyenletek, Függvények folytonossága, Függvények differenciálhatósága, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/február: F.1972

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük az f(x) primitív függvényét, az

F(x)=∑k=1n(akksinkx-bkkcoskx)(1)
függvényt. Mivel a coskx, sinkx függvények 2π szerint periodikusak, az egész számegyenesen folytonosak és deriválhatóak, F(x) is folytonos, deriválható, és 2π szerint periodikus. Mivel F(x) a 0≤x≤2π zárt intervallumon folytonos, van olyan 0≤x0≤2π szám, melyre
F(x)≤F(x0)(2)
teljesül tetszőleges 0≤x≤2π mellett, vagyis F(x) felveszi a maximumát a [0,2π] szakaszon. Mivel F(x) 2π szerint periodikus, (2) tetszőleges x mellett teljesül. Emiatt F'(x0) értéke csak 0 lehet, azaz f(x0)=0, és ezzel a feladat állítását beláttuk.