Kezdőlap


Feladat:	F.1971	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Varga Béla
Füzet:	1975/november, 125. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/február: F.1971

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$n = 1$ esetén a kérdéses intervallum az $(1,2)$ intervallumba esik, így az állítás nyilvánvaló. Legyen a továbbiakban $n \geq 2$ . Tegyük fel, hogy a feladat állításával ellentétben van olyan $n$ természetes szám és $k$ egész szám, hogy

\begin{matrix} n \sqrt[]{2} - \frac{1}{3 n} < k < n \sqrt[]{2} + \frac{1}{3 n} \end{matrix}

teljesül. A szereplő mennyiségek pozitívak, így a fenti egyenlőtlenség ekvivalens a következővel:

\begin{matrix} {(n \sqrt[]{2} - \frac{1}{3 n})}^{2} < k^{2} < {(n \sqrt[]{2} + \frac{1}{3 n})}^{2} . \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy a

\begin{matrix} (2 n^{2} + \frac{1}{9 n^{2}} - \frac{2 \sqrt[]{2}}{3}, 2 n^{2} + \frac{1}{9 n^{2}} + \frac{2 \sqrt[]{2}}{3}) \end{matrix}

intervallum tartalmazza a

k^{2}

négyzetszámot. Ez az intervallum azonban, mint egyszerű számolással belátható, része a

(2 n^{2} - 1, 2 n^{2} + 1)

intervallumnak, amelyben egyetlen egész szám található a

2 n^{2}

. Azt kaptuk tehát, hogy

2 n^{2} = k^{2}

, ami jól ismert módon lehetetlen (lásd

\sqrt[]{2}

irracionális voltának igazolását).

Varga Béla (Debrecen, Fazekas M. Gimn., IV. o. t.)