Kezdőlap


Feladat:	F.1967	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1976/január, 4. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok approximációja, Konvergens sorok, Numerikus és grafikus módszerek, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/január: F.1967

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen

\begin{matrix} a_{n} = \sqrt[]{1 + \sqrt[]{2 + ... + \sqrt[]{n}}} és b_{n} = \sqrt[]{1 + \sqrt[]{2 + ... + \sqrt[]{n - 2 + \sqrt[]{2 n - 1}}}} (n \geq 2) . \end{matrix}

a_{n}

kifejezésében a legbelső gyökjel alá

n

helyett

n^{2}

-et írunk, akkor éppen

b_{n}

-et kapjuk, és mivel ezzel

a_{n}

értékét növeltük, fennáll az

a_{n} < b_{n}

(n \geq 2)

egyenlőtlenség.
Ha most

b_{n}

kifejezésében a legbelső gyökjel alá

2 n - 1

helyébe

{(n - 1)}^{2}

-et írunk, akkor éppen

b_{n - 1}

-et kapjuk. Ezzel ismét növeltünk, vagyis legalábbis nem csökkentettünk, feltéve, hogy

2 n - 1 \leq {(n - 1)}^{2}

teljesül. Egyszerű számolás mutatja, hogy ezen utóbbi egyenlőtlenség minden

n \geq 4

természetes számra fennáll. Eszerint a

b_{3}

b_{4}

...

b_{n}

...

sorozat monoton fogyó, és így

n \geq 3

mellett

b_{3} \geq b_{n} > a_{n}

. Emiatt elég belátni, hogy

b_{3} = \sqrt[]{1 + \sqrt[]{5}} < 9 / 5

fennáll. Ez viszont valóban igaz, amint erről közvetlen számolással könnyen meggyőződhetünk. Végül

a_{1} = 1 < a_{2} = \sqrt[]{1 + \sqrt[]{2}} < b_{3}

miatt igaz állításunk

n = 1

és

n = 2

mellett is.