Kezdőlap


Feladat:	F.1965	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/november, 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/január: F.1965

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $x = 0$ , akkor $y = y^{2}$ -ből $y = 0$ , $1$ és $(x, y) = (0,0), (0,1)$ racionális megoldások. $x \neq 0$ esetén az $y / x = r$ jelöléssel $y = r x$ , ezt behelyettesítve, majd $x$ -szel egyszerűsítve

\begin{matrix} x = \frac{1 + r}{1 + r^{2}} \end{matrix}

adódik, és így

\begin{matrix} y = \frac{r + r^{2}}{1 + r^{2}} . \end{matrix}

Ha tehát

(x, y)

racionális megoldás és

x \neq 0

, akkor

r

is racionális és

\begin{matrix} (x, y) = (\frac{1 + r}{1 + r^{2}}, \frac{r + r^{2}}{1 + r^{2}}) . \end{matrix}

Ha pedig

r

tetszőleges racionális szám, akkor közvetlen behelyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy

\begin{matrix} (\frac{1 + r}{1 + r^{2}}, \frac{r + r^{2}}{1 + r^{2}}) \end{matrix}

megoldása, mégpedig racionális megoldása az egyenletnek.