Kezdőlap


Feladat:	F.1960	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/december, 203. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/december: F.1960

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ négyzetre emelésével a

\begin{matrix} sin^{4} α + cos^{4} α = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 α \end{matrix}

azonosságra jutunk. Ezt alkalmazva egyenletünk

\begin{matrix} sin^{2} 2 x = sin^{2} 4 x \end{matrix}

alakba írható. A

sin 4 x = 2 sin 2 x cos 2 x

átalakítással

\begin{matrix} sin^{2} 2 x = 4 sin^{2} 2 x cos^{2} 2 x . \end{matrix}

sin^{2} 2 x = 0

, azaz

sin 2 x = 0

akkor

x = k \frac{π}{2} (k = 0, \pm 1, ...)

, és az egyenlet fennáll.
Tegyük fel, hogy

sin^{2} 2 x \neq 0

, ekkor

\begin{matrix} cos 2 x = \pm \frac{1}{2} \end{matrix}

adódik. A

cos y = \pm \frac{1}{2}

egyenlet

0 \leq y < 2 π

esetén

y = \frac{π}{3}

\frac{2 π}{3}

\frac{4 π}{3}

\frac{5 π}{3}

mellett teljesül, így most

\begin{matrix} x = \frac{l π}{6} \pm k π, l = 1,2,4,5; k = 0, \pm 1, \pm 2, ... azaz \end{matrix}

x = n \frac{π}{6}

, ahol

n

tetszőleges,

3

-mal nem osztható egész szám.
Mivel pedig az előző megoldások

x = \frac{3 k π}{6}

alakba is írhatók, egyenletünk összes megoldását az

x = n \frac{π}{6} (n = 0, \pm 1, \pm 2, ...)

sorozat szolgáltatja.