Kezdőlap


Feladat:	F.1959	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Hidjapusztai Andor , Lugosi Erzsébet
Füzet:	1975/november, 115 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/december: F.1959

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felhasználva, hogy $a$ , $b$ , $c$ , $d$ pozitív,

\begin{matrix} S > \frac{a}{a + b + c + d} + \frac{b}{a + b + c + d} + \frac{c}{a + b + c + d} + \frac{d}{a + b + c + d} = 1 \end{matrix}

és

\begin{matrix} S < \frac{a}{a + b} + \frac{b}{a + b} + \frac{c}{c + d} + \frac{d}{c + d} = 2, \end{matrix}

azaz

1 < S < 2

, tehát az értékkészlet az

(1,2)

intervallumba esik. Megmutatjuk, hogy az értékkészlet ki is tölti az

(1,2)

-t.
Legyen először

a = b = x

c = d = 1

. Ekkor

\begin{matrix} S = S (x) = \frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2}{2 + x} = \frac{2}{2 + \frac{1}{x}} + \frac{2}{2 + x}, \end{matrix}

és itt

x

tetszőleges pozitív szám lehet.

x \to 0

esetén

S (x) \to 1

x = 1

esetén

S (1) = \frac{4}{3}

, így Bolzano tétele miatt a folytonos

S (x)

függvény a

(0,1)

intervallumban minden

1

és

\frac{4}{3}

közé eső értéket felvesz.
Legyen másodszor

a = c = x

b = d = 1

. Ekkor

\begin{matrix} S = S x = \frac{2 x}{x + 2} + \frac{2}{2 x + 1} = \frac{2}{1 + \frac{2}{x}} + \frac{2}{1 + 2 x}, \end{matrix}

és

x

megint tetszőleges pozitív szám lehet.

x \to 0

esetén

S (x) \to 2

x = 1

-re

S (1) = \frac{4}{3}

, és megint Bolzano tételére hivatkozva

S (x)

minden

\frac{4}{3}

és

2

közötti értéket felvesz a

(0,1)

intervallumon.

S

értéke tehát végigfut az összes

1

és

2

közötti számokon.

Hidjapusztai Andor (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A határértékre, folytonosságra és a Bolzano-tételre való hivatkozás nélkül is beláthatjuk, hogy

S

minden

1

és

2

közötti

y

számot feltesz. Ehhez

1 < y \leq \frac{4}{3}

esetén a

\begin{matrix} \frac{2}{2 + \frac{1}{x}} + \frac{2}{2 + x} = y, \end{matrix}

\frac{4}{3} \leq y < 2

esetén a

\begin{matrix} \frac{2}{1 + \frac{2}{x}} + \frac{2}{1 + 2 x} = y \end{matrix}

egyenletet kell megoldani.
Ezeket rendezve,

x

-ben másodfokú egyenletek adódnak, melyek megoldhatóságát éppen az

y

-ra tett kikötések biztosítják. Ugyanezekből az is látható, hogy a (létező) gyökök mindig pozitívak.

Lugosi Erzsébet (Cegléd, Kossuth L. Gimn., III. o. t.)