A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. 1. A egyenes iránytangense az adott összefüggések felhasználásával | | állandó, hacsak a nevezőre teljesül Ez a követelmény első alakjában azt jelenti, hogy és abszcisszái különbözők, második alakjában pedig azt, hogy , másképpen , vagyis abszcisszája és ordinátája közt kizártunk egy első fokú kapcsolatot. Általában az , vagy kapcsolat a koordináta-rendszerben egy meghatározott egyenest jelent, azt kaptuk tehát, hogy ha nincs rajta -n, akkor iránytényezője . Ha viszont , azaz és , vagyis rajta van -n, akkor alapján vagyis azonos -vel, hiszen mindkét koordinátájuk egyenlő. Ekkor pedig nincs értelme beszélni összekötő egyenesükről. Ezek szerint a kapcsolatban ‐ nevezhetjük ponttranszformációnak ‐ valóban minden esetén a egyenes párhuzamos az iránytényezőjű egyenesek mindegyikével, speciálisan az origón átmenő, egyenletű egyenessel; az állítást bebizonyítottuk. Például az pont leszármazottja , a ponté , a -é . Azt is kaptuk, hogy az egyenletrendszerrel leírt transzformációban az egyenletű egyenes pontjai ‐ és csak ezek ‐ megkülönböztetett szerepet játszanak (hiszen más pontpárokra mindjárt ), ezek önmaguk leszármazottai. 2. Keressük meg most a -ből leszármaztatott -nek leszármazottját, -nek második leszármazottját (a -n levő pont esetében miatt természetesen ). Erre | | és hasonlóan , vagyis leszármazottja maga . Hozzávéve ehhez azt az észrevételt, hogy merőleges -re, vagyis minden pontpár összekötő egyenesére, kézenfekvő az a sejtés, hogy az rendszer az egyenesre való tükrözés.
Ennek bizonyításához most már elég azt belátni, hogy a szakasz felezőpontja a -n van, vagyis hogy ordinátája feleakkora, mint az abszcisszája. Valóban:
tehát sejtésünk igaz. II. megoldás. Jelöljük a síknak a koordinátatengelyek pozitív irányába mutató egységvektorait -vel, -vel, az origót -val, akkor a pont helyvektora és a -hez rendelt pont helyvektora | | Ebből , , illetve , helyettesítéssel kapjuk az , vektorok transzformált értékeit:
Ezeket az előállításába helyettesítve azt kapjuk, hogy Szavakkal elmondva ez azt jelenti, hogy a transzformált pontnak a transzformált , vektorok által meghatározott koordináta-rendszerben ugyanazok a koordinátái, mint az eredeti pontnak az eredeti koordináta-rendszerben. Elég tehát azt megvizsgálnunk, hogyan kaphatjuk meg az , vektorokat az , vektorokból. Mivel a -beli együtthatókra azért , is egységvektor. Másrészt az -ből negatív irányú -os forgatással kapható meg, hiszen ez a forgatás -t -be, -t -be viszi, és e két vektor összegét az új vektorok összegébe viszi. Ha tehát megkeressük azt a egyenest, amelyre -t tükrözve -t kapjuk, biztosak lehetünk benne, hogy az -ből pozitív irányú -os forgatással kapható -t erre a -re tükrözve az -ből negatív irányú -os forgatással kapható -t kapjuk. Mivel is egységvektor, valóban létezik, mégpedig az , vektorok által kijelölt szöget felező egyenes. A -re való tükrözés az vektor skalár-szorosát az -nek képéből kapható vektorba viszi, -t pedig -be, és -t -be, hiszen a vektorok összeadásához használt paralelogramma is tükröződik -re. Ezzel beláttuk, hogy az összefüggéssel megadott ponttranszformáció azonos a egyenesre való tükrözéssel, ahol az origón, és az , pontpár felezőpontján átmenő egyenletű egyenes. Megjegyzés. Ha helyett az általános | | összefüggésből indultunk volna ki, az
vektorokat kaptuk volna, amelyek általában már nem merőlegesek, és nem egységvektorok. Az azonban továbbra is igaz marad, hogy tetszőleges -beli pont képe a vele megegyező koordinátájú, -beli pont. A transzformációnk által adott képek tehát úgy viszonylanak az eredetihez, mint egy bizonyos összefüggésnek különböző koordináta-rendszerekben kapott képei. Mondjuk, az összefüggést ábrázoljuk különböző koordináta-rendszerekben, azaz tetszőleges , vektorok mellett megkeressük az helyvektorú pontok összeségét, midőn befutja a valós számokat. Amíg az vektorok merőlegesek, és egységnyi hosszúak, megválasztásuk nem szól bele a kapott pontokból kirajzolódó görbe alakjába. Ha azonban tetszőleges vektorok, a vizsgált görbék alakja is megváltozik. További általánosítást jelent, ha az origó helyzetét is megváltoztatjuk, amit az
transzformációval érhetünk el. Jó szolgálatot tesznek ezek a transzformációk a bonyolultabb függvények alaki vizsgálatánál, segítségükkel ezeknek a tipizálása aránylag kényelmesen elvégezhető. Külön említésre méltóak az egyenletű ún. másodrendű görbék, amelyekről e transzformációk segítségével lehet belátni, hogy valamennyiük kúpszelet, tehát a fenti egyenlet képe vagy ellipszis, vagy hiperbola, vagy parabola, vagy metsző egyenespár, vagy párhuzamos egyenespár, vagy egy egyenes, vagy egy pont, vagy üres halmaz (a kört e fölsorolásban az ellipszisekhez soroltuk). |