Feladat: F.1955 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1975/november, 111 - 112. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Magasabb fokú egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Egész együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/november: F.1955

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha [P(k)]2=1, akkor P(k) értéke vagy +1 vagy -1. Jelöljük p-vel azoknak a különböző k egészeknek a számát, amelyekre P(k)=+1, és legyen m a P(k)=-1 egyenlet különböző egész megoldásainak a száma. Mivel az n-edfokú

Q(x)=P(x)-1,R(x)=P(x)+1
polinomoknak külön-külön legfeljebb n különböző gyökük lehet, p és m legfeljebb n, úgy p+m≤2n. Ha tehát n≤2, a feladat állítása nyilvánvaló, így a továbbiakban feltesszük, hogy n≥3. Feladatunk állításán túlmenően ebben az esetben belátjuk, hogy ha pm>0, akkor p+m≤4, amiből következik, hogy n=3 mellett p+m maximális értéke (n+1), különben p+m≤n.
Feltehetjük, hogy p≤m, hiszen ha ez nem volna így, P(x)-et (-1)-gyel megszorozva p és m szerepe felcserélődik. Azt fogjuk belátni, hogy ha m≥3, és p>0, akkor m=3 és p=1, amiből már következik az előbb mondott állítás. Jelöljük az R(x) polinom egész gyökeit x1-gyel, x2-vel, ..., xm-mel, Q(x) egyik egész gyökét x0-lal. Ekkor R(x) osztható az R1(x)=(x-x1)(x-x2)...(x-xm) polinommal:
R(x)=R1(x)⋅R2(x),
és mivel R1(x) főegyütthatója 1, és az R(x), R1(x) polinomok egész együtthatósak, azért R2(x) is egész együtthatós. Emiatt R2(x0) egész, és
R(x0)=(x0-x1)(x0-x2)⋅...⋅(x0-xm)⋅R2(x0)=Q(x0)+2=2
miatt az
x0-x1,x0-x2,...,x0-xm
különbségek abszolút értéke csak 1 vagy 2 lehet, de 2 abszolút értéke legfeljebb csak 1 lehet közöttük. Így az x0, x1, x2, ..., xm számok között a legnagyobb és legkisebb különbsége legfeljebb 3, amiből következik, hogy a számuk legfeljebb 4, vagyis m≤3. Ha m=3, akkor x0-ra csak egyetlen érték jöhet szóba, tehát p=1, állításainkat ezzel beláttuk.
 

Megjegyzés. Megoldásunk szerint n=1, 2, 3 mellett p+m maximális értéke rendre 2, 4, 4, különben p+m≤n. Ezeket az értékeket rendre el is lehet érni, például a
P1(x)=x,x=±1;P2(x)=x(x-3)+1,x=0,1,2,3;P3(x)=x(x-2)(x-3)-1,x=0,1,2,3;Pn(x)=(x-1)(x-2)...(x-n)+1,x=1,2,...,n
polinomokkal.