Kezdőlap


Feladat:	F.1953	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/november, 109 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Sorozat határértéke, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/november: F.1953

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $a_{n}$ , $b_{n}$ mértani közepét $c_{n}$ -nel. $(1)$ szerint

\begin{matrix} a_{n + 1} b_{n + 1} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n} + b_{n}} \cdot \frac{a_{n} + b_{n}}{2} = a_{n} b_{n}, \end{matrix}

tehát

c_{n + 1} = c_{n}

, amiből következik, hogy a

c_{n}

sorozat tagjai mind egyenlőek a sorozat első tagjával,

c_{0}

-lal:

\begin{matrix} a_{n} b_{n} = c_{0}^{2}, n = 0,1,2, ... \end{matrix}

(2)

Ugyancsak

(1)

-ből kapjuk, hogy

\begin{matrix} b_{n + 1} - a_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2} - \frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n} + b_{n}} = \frac{{(b_{n} - a_{n})}^{2}}{2 (b_{n} + a_{n})}, \end{matrix}

(3)

amiből először is az következik, hogy

b_{n + 1} \geq a_{n + 1}

, és mivel már tudjuk, hogy e két szám mértani közepe

c_{0}

, az is igaz, hogy

\begin{matrix} a_{n + 1} \leq c_{0} \leq b_{n + 1}, n = 0,1,2, ... \end{matrix}

(4)

Már tudjuk, hogy

n = 1

-től kezdve a

d_{n} = b_{n} - a_{n}

különbség nem-negatív (

n = 0

mellett még előfordulhat, hogy

a_{0} > b_{0}

(3)

szerint

\begin{matrix} d_{n + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{| b_{n} - a_{n} |}{b_{n} + a_{n}} \cdot | b_{n} - a_{n} | \leq \frac{1}{2} | d_{n} | . \end{matrix}

(5)

Ebből

n

szerinti teljes indukcióval kapjuk, hogy

\begin{matrix} d_{n} \leq \frac{1}{2^{n}} | d_{0} |; n = 0,1,2, ... \end{matrix}

(6)

Valóban,

(6)

n = 0

mellett triviálisan igaz, és ha már beláttuk

(6)

-ot valamilyen

n

-re, akkor

(5)

alapján

(6)

(n + 1)

-re is igaz. Mivel a

d_{n}

, sorozat tagjai

n \geq 1

mellett nem-negatívak,

(6)

-ból következik, hogy a határértékük

0

(4)

szerint

\begin{matrix} 0 \leq c_{0} - a_{n + 1} \leq d_{n + 1}, n = 0,1,2, ... \\ 0 \leq b_{n + 1} - c_{0} \leq d_{n + 1}, n = 0,1,2, ... \end{matrix}

tehát a

c_{0} - a_{n}

és

b_{n} - c_{0}

sorozatok határértéke is

0

, ami épp azt jelenti, hogy az

a_{n}

b_{n}

sorozatok határértéke

c_{0}

. Ezt kellett bizonyítanunk.
2. Mielőtt a mondott numerikus példára rátérnénk, jegyezzük meg, hogy

(1)

és

(4)

alapján könnyen igazolható, hogy a

b_{n}

sorozat monoton fogy, és

a_{n}

monoton nő. Ebből és

(3)

-ból következik, hogy

\begin{matrix} b_{n + 1} - a_{n + 1} = \frac{{(b_{n} - a_{n})}^{2}}{4 b_{n + 1}} \leq \frac{{(b_{n} - a_{n})}^{2}}{4 a_{0}} . \end{matrix}

(7)

Válasszunk tehát

a_{0}

-nak és

b_{0}

-nak olyan értékeket, hogy

a_{0} b_{0} = 21

, és

| b_{0} - a_{0} |

lehetőleg kicsi legyen. Ilyen például az

\begin{matrix} a_{0} = 4, 2; b_{0} = 5 \end{matrix}

számpár. Erre

(7)

alapján

\begin{matrix} b_{1} - a_{1} \leq \frac{0, 8^{2}}{16} = 0, 04, b_{2} - a_{2} \leq \frac{0, 04^{2}}{16} = 0, 0001, \end{matrix}

elég tehát

b_{2}

-t meghatározni.

\begin{matrix} b_{1} & = \frac{4, 2 + 5}{2} = 4, 6; a_{1} = \frac{21}{4, 6} = \frac{105}{23}; \\ b_{2} & = \frac{52, 5 + 52, 9}{23} = \frac{105, 4}{23} = 4, 58261, \end{matrix}

így

a_{2} > 4, 5825

, és három tizedes jegyre

\sqrt[]{21} = 4, 583