Kezdőlap


Feladat:	F.1951	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/március, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/október: F.1951

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszög területére a $0 < sin α \leq 1$ és a feltevés alapján

\begin{matrix} t = \frac{1}{2} b c sin α \leq \frac{1}{2} b c \leq \frac{b^{2}}{2}, \end{matrix}

eszerint

b \geq \sqrt[]{2 t} = \sqrt[]{2}

, ezt kellett bizonyítanunk.

Megjegyzések. 1. A végzett két növelést egy lépésben végezhetjük el, ha a

2 t = b \cdot m_{b}

képletből indulunk ki és felhasználjuk az 1942. évi Eötvös Loránd (matematikai) tanulóverseny 1. feladatában bebizonyított tételt: bármely háromszögben legfeljebb egy olyan oldal van, mely kisebb a megfelelő magasságnál. Esetünkben ilyen párként nyilvánvalóan csak

c \leq m_{c}

, jön szóba, ezért

m_{b} \leq b

.
2. A megadott alsó korlát el is érhető. Ha

b = \sqrt[]{2}

, akkor

m_{b} = \sqrt[]{2} \leq c

, tehát

c = \sqrt[]{2} = b

, és

a = 2

. Ebből a példából azt is látjuk, hogy kisebb alsó korlát nem adható meg az egységnyi területű háromszög hosszúságra nézve középső oldalára vonatkozóan.