Feladat: F.1950 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1975/május, 204 - 205. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Körök, Trapézok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/október: F.1950

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a BC, BA átmérőjű kört rendre kA-val, kC-vel, és legyen egy, az előírásnak megfelelő, F körüli kör k. (Az utóbbi minden háromszögben lehetséges, hiszen kA és kC két különböző pontban metszik egymást.) Legyen a kA,k körpár egyik közös pontja P, és tekintsük a PB egyenesnek kC-vel való, B-től különböző P' metszéspontját. Azt mutatjuk meg, hogy P' rajta van k-n.

 

 

Thalész tétele alapján PB-re merőlegesen áll PC is, P'A is, tehát PC és P'A egy trapéz párhuzamos oldalai, AC pedig vagy átlója ennek vagy szára. (Az ábra k-nak egy más, k* helyzetét is mutatja; k és P esetében átló, a k* és P* esetében szár az AC szerepe. Ha P éppen C-ben van, akkor PC-n kA-nak C-beli érintője értendő, hasonlóan értendő P'A, ha P' az A-ban adódik, ezekben az esetekben derékszögű háromszög adódik a trapéz helyett.) Így az F-en át PB-re állított m merőleges a trapéznak középvonala, tehát merőlegesen felezi a PP' szakaszt, hiszen ez is átlója vagy szára a trapéznak. Eszerint P'F=PF, P' a k-n is rajta van, amint állítottuk. Így P' a k, kC köröknek közös pontja, és a k-n levő P, P' pontpár megfelel a feladat állításának.
A kA, k körök P-től különböző Q közös pontjához ugyanígy adódik párként kC-nek és k-nak egy közös Q' pontja. Csak azt kell még belátnunk, hogy Q' és P' különbözők. Ez abból adódik, hogy a PB és QB egyenesek különbözők, mert egy egyenesnek nem lehet 3 közös pontja egy körrel. (Akkor is különböző PB és QB, ha k átmegy B-n, vagyis P és Q egyike maga B, hiszen pl. Q=B esetén QB-ként k érintője veendő.) Azt is kaptuk, a feladat állításának kiegészítéséül, hogy a metszéspontpárok egyik eleme mindig kA-hoz, másika a kC-hez tartozik.
Az F pont és kA, kC középpontja az ABC háromszög középháromszögének csúcsai, B-vel kiegészítve paralelogrammát adnak. Ebből adódik, hogy k sugarának nagyobbnak kell lennie |BA-BC|2-nél és kisebbnek kell lennie BA+BC2-nél. Ha a sugár egyenlő bármelyik mondott korláttal, akkor k egyidejűen érinti kA és kC mindegyikét. A két ilyen érintkezési pont kivételével kA-nak minden pontja szerepelhet P-ként (Q-ként), és kC-nek minden pontja adódik P'-ként (Q'-ként). (Egyébként kA és kC szerepe nyilvánvalóan fölcserélhető.)