Kezdőlap


Feladat:	F.1949	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/április, 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/október: F.1949

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Jelöljük az ismerkedési est résztvevőinek számát $n$ -nel, és tegyük fel, hogy a sorban állók egymás után előre mennek a sorban, és minden ismerősükkel kezet fognak. Ha az $i$ -edik embernek az előtte állók között $a_{i}$ ismerőse van, akkor összesen

\begin{matrix} A = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \end{matrix}

kézfogásra kerül sor. Ezután kérjük meg a sorban állókat, hogy egymás után haladjanak el a mögöttük állók előtt, és fogjanak kezet az ismerőseikkel. Ha most az

i

-edik

b_{i}

-szer fog kezet, az összes kézfogás száma

\begin{matrix} B = b_{1} + b_{2} + ... + b_{n} . \end{matrix}

Mind a két esetben minden ismerős pár pontosan egyszer fog kezet, tehát

A = B

. A feladat feltevése szerint

1 < i < n

mellett

a_{i} = b_{i}

, emiatt

A = B

csak úgy lehet igaz, ha

\begin{matrix} a_{1} + a_{n} = b_{1} + b_{n} . \end{matrix}

Viszont

a_{1} = b_{n} = 0

, hiszen az első előtt és az utolsó után nem áll senki, tehát

a_{n} = b_{1}

, amint azt bizonyítanunk kellett.

II. megoldás. Kérjük meg az est résztvevőit, hogy mindenki adjon a sorban mögötte álló ismerőseinek egy forintot. Ezután az első annyi forinttal lesz szegényebb, ahány ismerőse van, a mögötte állók viszont ugyanannyi forintot kapnak, amennyit adnak, kivéve az utolsót, aki csak kap ebben az esetben, mégpedig ugyancsak annyi forintot, ahány ismerőse van. Mivel a társaság összvagyonát ez az adakozás változatlanul hagyja, az utolsó pontosan annyi forinttal lesz gazdagabb, mint ahánnyal az első szegényebb lett, tehát az ismerőseik száma egyenlő.