Kezdőlap


Feladat:	F.1948	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/május, 204. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/október: F.1948

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az, hogy az $f (x) = x$ egyenletnek nincs valós gyöke, azt jelenti, hogy a $g (x) = f (x) - x$ függvény képe nem metszi az $x$ tengelyt. Mivel $g (x)$ is másodfokú függvény, ez csak úgy lehet, ha $g (x)$ képe minden valós $x$ -re az $x$ tengelynek ugyanazon az oldalán van, tehát $g (x)$ vagy pozitív minden $x$ -re, vagy negatív minden $x$ -re. Az első esetben

\begin{matrix} f (x) > x \end{matrix}

(1)

teljesül minden valós

x

-re. Legyén

a

tetszőleges valós szám, és helyettesítsük (1)-be először az

x = a

, majd az

x = f (a)

értékeket. Kapjuk, hogy

f (a) > a

, és

f (f (a)) > f (a)

, tehát

f (f (a)) > a

minden valós

a

-ra. Így az

f (f (x)) = x

egyenletnek valóban nincs gyöke a valós számok körében. A második esetben

\begin{matrix} f (x) < x \end{matrix}

(2)

minden

x

-re, tehát

f (a) < a, f (f (a)) < f (a)

minden

a

-ra, amiből

f (f (a)) < a

következik, tehát az

f (f (x)) = x

egyenletnek ebben az esetben sincs valós gyöke.

Megjegyzés. Az

f (x)

függvényről csak annyit használtunk fel a megoldásunkban, hogy ha

f (x) - x

képe nem metszi az

x

tengelyt, akkor annak egyik oldalán marad. Nem szerepel az iskolai anyagban, de az analízisben jól ismert állítás, hogy ez mindig így van, ha

f (x)

folytonos és az értelmezési tartománya véges vagy végtelen intervallum.