Kezdőlap


Feladat:	F.1946	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Böősi Imre , Kosztán Erzsébet
Füzet:	1975/május, 201 - 204. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt gömb, Kocka, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/szeptember: F.1946

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresett gömb $G$ középpontja az $A C$ alapátló $S$ felező merőleges síkjában van, ami másképpen a $B D$ átlón átmenő függőleges sík. Ez a sík merőleges a kocka fedőlapjának $V$ síkjára, ezért $V$ és a gömb $T$ érintkezési pontja rajta van a két sík metszésvonalán, ami a fedőlapon a $B D$ -vel párhuzamos és egyirányú $F H$ átló egyenese. Mondhatjuk eszerint, hogy a gömb érinti az $F H$ egyenest. $G$ alatta van $V$ -nek ( $F H$ -nak), hiszen a gömbfelület $A$ pontja alatta van $V$ -nek (ld. az ábrát).

Jelölésünk szerint a gömb az

F B

élegyenest érinti egy

U

pontban. És mivel

F B

is az

S

-ben van, azért az

S

-ben az

F H

egyenest

T

-ben és az

F

B félegyenest

U

-ban érintő kör a gömbnek főköre. Ez egyszersmind a gömbnek

S

-en levő merőleges vetülete, emiatt belső pontként tartalmazza

A

-nak és

C

-nek

S

-re való vetületét; ezek egybeesnek egymással és a

B D

átló

K

felezőpontjával. Emiatt

G

S

-nek csak a

D

-t tartalmazó

B F H

derékszög-tartományában lehet, ennek

f

szögfelezőjén.
A gömb

r

sugarát a

G T = G U = G A

követelményből határozzuk meg. Legyen még

K

vetülete

G U

-ra

L

, így

\begin{matrix} G A^{2} = G L^{2} + L K^{2} + K A^{2}, ahol \\ G L = | G U - L U | = | r - K B | = | r - \frac{1}{\sqrt[]{2}} |, \\ L K = U B = | F B - F U | = | 1 - r |, K A = \frac{1}{\sqrt[]{2}} . \end{matrix}

Ezekkel

\begin{matrix} r^{2} = {(r - \frac{1}{\sqrt[]{2}})}^{2} + {(1 - r)}^{2} + \frac{1}{2}, \\ r^{2} - (2 + \sqrt[]{2}) r + 2 = 0, \end{matrix}

mindkét gyök pozitív, megfelel:

r_{1} = 0, 751

(ez van az ábrán),

r_{2} = 2, 663

Böősi Imre (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Alább egy olyan utat vázolunk a kérdés megválaszolására, amely a térbeli koordináta-geometria fogalmait, összefüggéseit, eljárásait használja fel. Előrebocsátjuk, hogy az efféle dolgozatokat ‐ pontverseny-kiírásunk szellemében ‐ csak megoldásvázlatoknak tekinthetjük. Látni fogjuk, hogy ha csak némi magyarázatot fűzünk a síkból formálisan leutánzott lépésekhez, mindjárt terjedelmesebb a megoldás a fentinél, itt nem könnyít a koordináta-geometria.
Helyezzük el a kockát a térbeli derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy alaplapja csúcsainak koordinátái

\begin{matrix} A (0, 0, 0), B (1, 0, 0), C (1, 1, 0), D (0, 1, 0) \end{matrix}

legyenek. Legyen másrészt a gömb

G

középpontja az

(a

b

c)

pont, sugara

r

. Így a gömb egyenlete

\begin{matrix} {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = r^{2}, \end{matrix}

ti. ezt elégítik ki a gömb minden felületi pontjának

(x

y

z)

koordinátái. Mármost, mivel a gömb átmegy az

A

és a

C

ponton, azért teljesül

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = r^{2}, & (1) \\ {(1 - a)}^{2} + {(1 - b)}^{2} + c^{2} = r^{2} . & (2) \end{matrix}

A kocka

B

-n átmenő oldaléle párhuzamos a

z

tengellyel, az élegyenes minden pontjának első két koordinátája egyezik

B

első két koordinátájával, a harmadik tetszőleges:

(1

;

,0

;

z)

. Az élegyenes és a gömb

U

érintkezési pontjára nézve a

G U

sugár merőleges az élre, tehát párhuzamos az

x

y

tengelyek alkotta síkkal, így

U

harmadik koordinátája

c

. Az

U (1

0

c)

pont rajta van a gömbön, tehát

\begin{matrix} {(1 - a)}^{2} + b^{2} = r^{2} . \end{matrix}

(3)

A kocka fedőlapsíkjának egyenlete

z = 1

. A

G

középpont alatta van ennek, mert a gömb

A

és

C

pontjai alatta vannak a fedőlapnak, így

c < 1

. A fedőlapsík és a gömb érintkezési pontját

T

-vel jelölve

T

koordinátái:

(a

b

1)

, hiszen

G T

sugár merőleges a fedősíkra, párhuzamos a

z

tengellyel. Így az előjelre is helyesen

\begin{matrix} \bar{G T} = 1 - c = r . \end{matrix}

(4)

Mármost az (1) ‐ (4) egyenletrendszerből úgy kapjuk a keresett

r

-et, hogy kiküszöböljük

G

koordinátáit. (4)-ből

\begin{matrix} c = 1 - r . \end{matrix}

(5)

(1)-ből kivonva (2)-t, rendezés után

\begin{matrix} a + b = 1 \end{matrix}

(6)

(ez fejezi ki, hogy

G

benne van a

B

-n és

D

-n átmenő, a

z

-tengellyel párhuzamos síkban).
(1)-ből (3)-at kivonva, majd (5)-öt helyettesítve, rendezés után

\begin{matrix} a = r - \frac{r^{2}}{2}, \end{matrix}

(7)

és így (6)-ból

\begin{matrix} b = 1 - r + \frac{r^{2}}{2} . \end{matrix}

(8)

Végül (7)-et, (8)-at és (5)-öt (1)-be helyettesítve rendezés után

\begin{matrix} r^{4} - 4 r^{3} + 6 r^{2} - 8 r + 4 = 0. \end{matrix}

A bal oldalt sikerül két négyzet különbségévé, és így szorzattá alakítani:

\begin{matrix} {(r^{2} - 2 r + 2)}^{2} - {(\sqrt[]{2} r)}^{2} = [r^{2} - (2 + \sqrt[]{2}) r + 2] \cdot [r^{2} - (2 - \sqrt[]{2}) r + 2] = 0. \end{matrix}

Az első tényezőt 0-vá téve az I. megoldás egyenletét és gyökeit kapjuk, a második tényezőből adódó egyenletnek viszont nincs valós gyöke, hiszen diszkriminánsa

{(2 - \sqrt[]{2})}^{2} - 8 < 0

. ‐ Ezzel a választ megadtuk.
A sugár ismeretében (7), (8) és (5) alapján a

G

középpont is megadható;

r_{1}

-ből:

a_{1} = 0, 469

b_{1} = 0

531

c_{1} = 0, 249

és

r_{2}

-ből

a_{2} = - 0, 886

b_{2} = 1, 886

c_{2} = - 1, 663

(tulajdonképpen ezek a koordináták jelentenek segítséget a keresett gömb helyzetének elképzeléséhez).

U

koordinátáinak megállapításához ezt is mondhattuk volna: a

B

oldalél az

x = 1

egyenletű oldallapsík (az ábrán hátul) metszésvonala az

y = 0

egyenletű (jobb) oldallapsíkkal.

Kosztán Erzsébet (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján, jelentős kiegészítésekkel