Írjuk fel a $P\left(a;\frac{1}{a}\right)$ ponton átmenő érintő egyenletét. Az $\frac{1}{x}$ függvény deriváltja $-\frac{1}{x^2}$, így $P\left(a\mathrm{,}\frac{1}{a}\right)$-ban az érintő iránytangense $-\frac{1}{a^2}$. Az érintő egyenlete tehát $y=-\frac{1}{a^2}x+\frac{2}{a}$. Eszerint az érintő a tengelyeket a $\left(2a;0\right)$, illetve a $\left(\mathrm{0,}\frac{2}{a}\right)$ pontban metszi. Ebből $t\left(a\right)=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot \frac{2}{a}=2$. (Ez az eredmény a geometriából is jól ismert.)
A fenti számolás mutatja, hogy a $P$ érintési pont felezi a (0, 0), $\left(2a\mathrm{,}0\right)$, $\left(\mathrm{0,}\frac{2}{a}\right)$ derékszögű háromszög átfogóját. A $P$-ben emelt merőleges ehhez hasonló háromszöget vág le, és a hasonlóság aránya $2a:\overline{\left(2a\mathrm{,}0\right)P}$. Ezen arány négyzete épp a területekre felírt $t\left(a\right)/T\left(a\right)$ arány, így a Pitagorasz‐tétel szerint