Kezdőlap


Feladat:	F.1942	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/május, 201. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/szeptember: F.1942

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bal oldali kifejezés szimmetrikus, a jobb oldali az $x$ számok ciklikus cseréjére szimmetrikus. Így feltehetjük, hogy számaink közül az $x_{5}$ minimális: $x_{k} \geq x_{5}, (k = 1,2,3,4)$ . Ekkor a számtani és mértani közép egyenlőtlensége szerint

\begin{matrix} \frac{1}{2} [(x_{1} + x_{3} + x_{5}) + (x_{2} + x_{4})] \geq {[(x_{1} + x_{3} + x_{5}) (x_{2} + x_{4})]}^{1 / 2} . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} {(x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5})}^{2} \geq 4 (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{4} + x_{4} x_{5} + x_{4} x_{1} + x_{2} x_{5}) . \end{matrix}

Ám a jobb oldal tovább csökken, ha a pozitív

x_{2} x_{5}

számot elhagyjuk és felhasználva, hogy

x_{5}

a legkisebb,

x_{4} x_{1}

-et

x_{5} x_{1}

-re cseréljük ki.
Ezzel éppen állításunkat kapjuk abban az erősebb formában, hogy egyenlőség nem állhat fenn.