|
Feladat: |
F.1940 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Alexy M. , Baranyi J. , Bárdossy Gy. , Bátyi L. , Borsodi D. , Brindza B. , Böősi I. , Dozmati Z. , Dózsa L. , Fehér J. , Frankó F. , Hajnal I. , Ható Mária , Hornung T. , Horváth Eszter , Horváth J. , Jakab T. , József S. , Kecskés Cs. , Kiss E. , Koltay K. , Kovács F. , Krausz T. , Krisztián T. , Lovász A. , Lux I. , Magyar L. , Miklós D. , Mikoss L. , Münnich Á. , Nagy Gábor (Kiskőrös) , Nagy János , Németh Gy. , Páles Zs. , Perge L. , Pintér Klára , Raikovich P. , Rapp F. , Réti Z. , Ságody Loránd , Sárga E. , Seress Á. , Sparing L. , Tokodi J. , Tornóci L. , Udvardy Magdolna , Varga B. , Vass A. (Debrecen) |
Füzet: |
1975/január,
15 - 16. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Geometriai egyenlőtlenségek, Szabályos sokszög alapú gúlák, Térfogat, Térgeometriai bizonyítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1974/május: F.1940 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Áz állítást azzal bizonyíthatjuk be, hogy az tetraéder térfogata mindig része az tetraéder térfogatának. Jelöljük az -val szemben levő lap súlypontját -val, az lap súlypontját -vel, a él felezőpontját -fel. Így , az , illetve lap egyik-egyik súlyvonala, azért rajta van az -n, pedig -n, tehát , és a velük és is benne van az síkban.
Gondoljuk kettémetszve -t is, -t is a síkkal, a metszet az , ill. háromszög. Az és tetraéderek térfogata egyenlő, mert alapsíknak a közös lapjukat véve, magasságaik is egyenlők, hiszen megválasztása folytán és egyenlő távolságra van -tól, ennek két oldalán. Ugyanígy egyenlő két részének, -nek és -nek a térfogata is. És mivel e négy résznek a -ra merőleges magasságai egyenlők, állításunk egyenértékű azzal, hogy az alapháromszög területe egyenlő az alapterületének részével. Feladatunk ezáltal síkbeli feladattá egyszerűsödött. Az és egyenesek metszéspontja (ami egyébként a súlypontja) negyedeli az , szakaszt, mert benne van az négyszögben, továbbá alapján és , az háromszög arányú kicsinyített képe az háromszögnek, . Továbbmenve , és ugyanúgy ; ezért , és . Az háromszög -ből húzott magasságát -mel jelölve és távolsága az egyenestől (ennek két oldalán) , illetve , tehát az egyenestől az pont , az pont pedig távolságra van.
Így az háromszög területe: Állításunkat bebizonyítottuk, ez pedig tartalmazza a feladat állítását, hiszen . |
|