Feladat: F.1937 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1975/szeptember, 9 - 11. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Játékelmélet, játékok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/május: F.1937

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Számozzuk meg a papírlap sorait és oszlopait úgy, hogy az első jel sorát és oszlopát 0 jelölje, és ez alatt, illetve ettől jobbra legyenek a pozitív számokkal jelzett sorok, illetve oszlopok. E számozás alapján minden mezőt egy számpárral adhatunk meg, melyből az első a mezőt tartalmazó sort, a második az oszlopot határozza meg.
Ha a második játékos ‐ röviden M ‐ első lépése (1; 0), akkor a kezdő ‐ röviden K ‐ második lépése legyen (1; 1). Ha ezután M nem a (-2; -2), (-1; -1), (2; 2), (3; 3) mezők valamelyikét választja, akkor K lépjen (2; 2)-t, következő lépésében pedig válassza a (-1; -1), (3; 3) mezők közül azt, amelyiket M szabadon hagyott ‐ így K a negyedik lépésben nyert.
Ha M lépése a mondott négy mező valamelyike, vagyis akadályozza az előbbi nyerőblokk elérését, akkor az általa elhelyezett két kör nincs sem ugyanabban a sorban, sem ugyanabban az oszlopban, sem ugyanabban az átlóban. Tehát K-t nem fenyegeti közvetlen veszély, így harmadik lépésében szabadon kezdeményezheti más nyerőblokk kialakítását. Ennek megfelelően jelölje meg (0; 1)-et. M-nek most már a 0-dik sorba is és az első oszlopba is kellene tennie jelet (eddig még ide nem tett), amit nyilván nem tud egy lépésen belül megvalósítani, a kettő közül valamelyiket szabadon kell hagynia, ott K kiépíthet egy négyes blokkot, és az ötödik lépésben nyer.
A továbbiakban a kezdő I-ik lépését KI-vet, a második játékos J-ik lépését MJ-vel jelöljük, az ábrákon X helyett csúcsán álló négyzet jelzi az elsőnek a lépéseit, ebbe bele tudjuk írni a lépés sorszámát. Az 1. ábrán az előző esetet írtuk le, M kényszerlépéseit mind feltüntettük, a már nem részletezett folytatásokat pontok jelzik (az oszlopsorszámokban két mínuszjel pótlandó).

 


210   1  2  3 -2 2|-1 2|0 |1   31 |1   22 |23 |21. ábra
 -2-101 2  3  4 -3 |-2 |-1 |30 |2   122   |21 |12 |3   3 |4   2. ábra

 

Ha M1=(1;1), akkor legyen K2=(0;2), amire M2-nek a (0; -1), (0; 1), (0; 3) mezők közül valónak kell lennie (2. ábra), különben K ismét már négy lépésben nyerne. Ha M a három mező valamelyikét választja, K3 legyen (-1; 1), amivel K két átlót nyit meg, és biztosan nyer. Ezt M már csak késleltetni tudja egy esetleges M3=(2;1) lépéssel, amire K4(3;1), és a folytatás ugyanaz, mintha ez a lépéspár meg sem történt volna. Így előfordulhat, hogy K csak a hatodik lépésben nyer.
 

-2-10   1  2  3 -3 |2-2 |2-1 |3   20 |11 2|2 2|13. ábra
 

Könnyen látható, hogy K-nak ugyanezek a lépései akkor is nyerést biztosítanak számára, ha az eddig vizsgáltak helyett M1=(2;0), illetve (2; 2), hiszen ekkor a lehetséges M2 lépések még csak nem is kerülnek M1-gyel egy sorba, oszlopba vagy átlóba.
 

Amennyiben M első lépése M1=(2;1), legyen K2=(-1;1), amire M2 csak (2; -2), (1; -1), (-2; 2), (-3; 3) valamelyike lehet (3. ábra), különben K négy lépésben nyer. Ha M2 ezek valamelyike, K3 legyen (-1; 0), amivel K megnyitja a (-1)-ik sort és a 0-ik oszlopot, tehát nyer. Ezt ismét csak egy lépéssel tudja késleltetni M, ha M2-nek (2; -2)-t, és M3-nak (2; 0)-t választja, amire K4 kötelezően (2; -1); különben az utolsó két lépés ugyanaz, mint e lépésváltás nélkül. ‐ Ez a stratégia akkor is jó, ha M1=(I,J), ahol I3 és 0JI.
Ezzel mindazokat az eseteket sorra vettük, amikor M1=(I,J), 0I, 0JI. Ha pedig 0I<J volna, cseréljük fel a sorok és oszlopok szerepét, így minden olyan esetben megadtuk a kezdőjátékos nyerőstratégiáját, amikor I0, J0. Ha I, J közül valamelyik (esetleg mindkettő) negatív, szorozzuk meg a megfelelő indexet (-1)-gyel, ezzel visszavezetjük ezeket az eseteket a már megadott esetekre. ‐ Állításunkat ezzel bebizonyítottuk.