A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Számozzuk meg a papírlap sorait és oszlopait úgy, hogy az első jel sorát és oszlopát 0 jelölje, és ez alatt, illetve ettől jobbra legyenek a pozitív számokkal jelzett sorok, illetve oszlopok. E számozás alapján minden mezőt egy számpárral adhatunk meg, melyből az első a mezőt tartalmazó sort, a második az oszlopot határozza meg. Ha a második játékos ‐ röviden ‐ első lépése (1; 0), akkor a kezdő ‐ röviden ‐ második lépése legyen (1; 1). Ha ezután nem a (; ), (; ), (2; 2), (3; 3) mezők valamelyikét választja, akkor lépjen (2; 2)-t, következő lépésében pedig válassza a (; ), (3; 3) mezők közül azt, amelyiket szabadon hagyott ‐ így a negyedik lépésben nyert. Ha lépése a mondott négy mező valamelyike, vagyis akadályozza az előbbi nyerőblokk elérését, akkor az általa elhelyezett két kör nincs sem ugyanabban a sorban, sem ugyanabban az oszlopban, sem ugyanabban az átlóban. Tehát -t nem fenyegeti közvetlen veszély, így harmadik lépésében szabadon kezdeményezheti más nyerőblokk kialakítását. Ennek megfelelően jelölje meg (0; 1)-et. -nek most már a 0-dik sorba is és az első oszlopba is kellene tennie jelet (eddig még ide nem tett), amit nyilván nem tud egy lépésen belül megvalósítani, a kettő közül valamelyiket szabadon kell hagynia, ott kiépíthet egy négyes blokkot, és az ötödik lépésben nyer. A továbbiakban a kezdő -ik lépését -vet, a második játékos -ik lépését -vel jelöljük, az ábrákon X helyett csúcsán álló négyzet jelzi az elsőnek a lépéseit, ebbe bele tudjuk írni a lépés sorszámát. Az 1. ábrán az előző esetet írtuk le, kényszerlépéseit mind feltüntettük, a már nem részletezett folytatásokat pontok jelzik (az oszlopsorszámokban két mínuszjel pótlandó).
-2-101 2 3 4 -3 |••-2 |••-1 |⋄30 |◯2 ⋄1◯2⋄2 |◯21 |•◯1•2 |•◯3 •3 |⋄4 2. ábra
Ha M1=(1;1), akkor legyen K2=(0;2), amire M2-nek a (0; -1), (0; 1), (0; 3) mezők közül valónak kell lennie (2. ábra), különben K ismét már négy lépésben nyerne. Ha M a három mező valamelyikét választja, K3 legyen (-1; 1), amivel K két átlót nyit meg, és biztosan nyer. Ezt M már csak késleltetni tudja egy esetleges M3=(2;1) lépéssel, amire K4(3;1), és a folytatás ugyanaz, mintha ez a lépéspár meg sem történt volna. Így előfordulhat, hogy K csak a hatodik lépésben nyer.
-2-10 1 2 3 -3 |•◯2-2 |•◯2-1 |••⋄3 ⋄2••0 |⋄11 ◯2|•2 ◯2|•◯13. ábra
Könnyen látható, hogy K-nak ugyanezek a lépései akkor is nyerést biztosítanak számára, ha az eddig vizsgáltak helyett M1=(2;0), illetve (2; 2), hiszen ekkor a lehetséges M2 lépések még csak nem is kerülnek M1-gyel egy sorba, oszlopba vagy átlóba. Amennyiben M első lépése M1=(2;1), legyen K2=(-1;1), amire M2 csak (2; -2), (1; -1), (-2; 2), (-3; 3) valamelyike lehet (3. ábra), különben K négy lépésben nyer. Ha M2 ezek valamelyike, K3 legyen (-1; 0), amivel K megnyitja a (-1)-ik sort és a 0-ik oszlopot, tehát nyer. Ezt ismét csak egy lépéssel tudja késleltetni M, ha M2-nek (2; -2)-t, és M3-nak (2; 0)-t választja, amire K4 kötelezően (2; -1); különben az utolsó két lépés ugyanaz, mint e lépésváltás nélkül. ‐ Ez a stratégia akkor is jó, ha M1=(I,J), ahol I≧3 és 0≦J≦I. Ezzel mindazokat az eseteket sorra vettük, amikor M1=(I,J), 0≦I, 0≦J≦I. Ha pedig 0≦I<J volna, cseréljük fel a sorok és oszlopok szerepét, így minden olyan esetben megadtuk a kezdőjátékos nyerőstratégiáját, amikor I≧0, J≧0. Ha I, J közül valamelyik (esetleg mindkettő) negatív, szorozzuk meg a megfelelő indexet (-1)-gyel, ezzel visszavezetjük ezeket az eseteket a már megadott esetekre. ‐ Állításunkat ezzel bebizonyítottuk.
|