Kezdőlap


Feladat:	F.1936	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/február, 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/május: F.1936

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha nem tesszük fel, hogy a kitevők csupa különböző számok, akkor általában $a$ -ra semmilyen következtetést nem lehet levonni. Írjuk $a$ -t $a = \frac{p}{q}$ alakba, ahol $p$ és $q$ legnagyobb közös osztója 1 és tételezzük fel, hagy csupa különböző kitevővel fennáll a

\begin{matrix} {(\frac{p}{q})}^{α_{1}} + ... + {(\frac{p}{q})}^{α_{k}} = {(\frac{p}{q})}^{β_{1}} + ... + {(\frac{p}{q})}^{β_{j}} \end{matrix}

egyenlőség. Szorozzuk végig ezt a

\frac{q^{γ}}{p^{δ}}

számmal, ahol

γ

és

δ

{α_{1}, ..., a_{k}, β_{1},

..., β_{j}}

számok legnagyobbikát, illetve legkisebbikét jelöli. Ekkor mindkét oldalon

p^{r} q^{s}

alakú tagok állnak, ahol

r \geq 0

s \geq 0

és pontosan egy tagban fordul elő

r = 0

, és pontosan egy tagban az

s = 0

. Ez azt jelenti, hogy egy kivételével minden tag osztható

p

-vel, és egy másik kivételével minden tag osztható

q

-val.

(p, q) = 1

miatt ebből

p = q = 1

, azaz

a = 1

következik.