Kezdőlap


Feladat:	F.1932	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/október, 68 - 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/április: F.1932

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Mivel $41^{\circ} = 60^{\circ} - 19^{\circ}$ , azért

\begin{matrix} sin 41^{\circ} & = \frac{1}{2} (\sqrt[]{3} cos 19^{\circ} - sin 19^{\circ}) = \frac{1}{4} (2 \sqrt[]{3} cos 19^{\circ} - 2 sin 19^{\circ}), \\ sin^{2} 41^{\circ} & = \frac{1}{4} (3 cos^{2} 19^{\circ} - 2 \sqrt[]{3} sin 19^{\circ} cos 19^{\circ} + sin^{2} 19^{\circ}) . \end{matrix}

Látható, hogy ezeket (1)-nek bal oldalába beírva a

\sqrt[]{3}

-as tényezőt tartalmazó tagok összege. 0 és így

\begin{matrix} \frac{3}{4} (sin^{2} 19^{\circ} + cos^{2} 19^{\circ}) = \frac{3}{4}, \end{matrix}

ezt kellett bizonyítanunk.
A

19^{\circ}

-os szög értekét nem kellett fölhasználnunk, ezért tetszőleges

x

mellett fennáll a következő azonosság:

\begin{matrix} sin^{2} x + sin x sin (60^{\circ} - x) + sin^{2} (60^{\circ} - x) = \frac{3}{4} . \end{matrix}

b) Erre visszavezethetjük a (2) kifejezés

B

értékének kiszámítását:

\begin{matrix} B = sin^{2} 16^{\circ} + sin 16^{\circ} sin 44^{\circ} + sin^{2} 44^{\circ} = \frac{3}{4} . \end{matrix}