Kezdőlap


Feladat:	F.1931	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/január, 12. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Parabola egyenlete, Hossz, kerület, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/április: F.1931

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először meghatározzuk a két parabola $m$ iránytangensű érintőinek az egyenletét. Az $y = x^{2}$ parabola $x_{0}$ abszcisszájú pontján átmenő érintőjének meredeksége $2 x_{0}$ , tehát $x_{0}$ -t $\frac{m}{2}$ -nek kell választani, és az érintő egyenlete

\begin{matrix} y - \frac{m^{2}}{4} = m (x - \frac{m}{2}) . \end{matrix}

A második parabola

x_{0}

-beli deriváltja

- 2 (x_{0} - 1)

, tehát most

x_{0} = - \frac{m}{2} + 1

, és az egyenes egyenlete

\begin{matrix} y + {(\frac{m}{2})}^{2} = m (x + \frac{m}{2} - 1) . \end{matrix}

y

tengelynek a két egyenes közti szakaszának

h

hossza egyenlő az egyenletekből

x = 0

helyettesítésével

y

-ra kapott értékek különbségének abszolút értékével:

\begin{matrix} h = | \frac{m (m - 2)}{2} | . \end{matrix}

Ebből a két egyenes távolságát kapjuk, ha szorzunk a két egyenes közös irányszögének a koszinuszával:

\begin{matrix} d = h | cos α | = \frac{h}{\sqrt[]{1 + {tg}^{2} α}} = \frac{| m (m - 2) |}{2 \sqrt[]{1 + m^{2}}} . \end{matrix}