A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a kocka tengelyül kiszemelt testátlójának végpontjait -val és -vel, centrumát -vel, az -val szomszédos csúcsait -gyel, -vel, -mal, -nek -re vonatkozó tükörképét -vel . Határozzuk meg először a kocka azon pontjainak a mértani helyét, amelyeket az tengely körül tetszőleges szöggel elforgatva ismét a kockához tartozó pontot kapunk. Jelöljük e mértani helyet -mel, a kockából kivágható, tengely körül tetszőleges forgáskúp nyilván -nek is része.
1. ábra Vizsgáljuk először -nek az síkkal alkotott metszetét. Ez nyilván része az téglalap körüli -os forgatásából származó téglalapnak is, megmutatjuk, hogy az metszet e két téglalap közös része.
2. ábra Ebből már következik, hogy -et úgy kapjuk meg, hogy e közös részt körül megforgatjuk. Jelöljük és metszéspontját -vel. Elég megmutatnunk, hogy benne van -ban, hiszen, ha ezt már beláttuk, akkor az, hogy a szakasz tetszőleges pontja és hogy az szakasz tetszőleges pontja -hoz tartozik, következik abból, hogy konvex, a metszet többi pontja pedig megkapható az háromszög pontjaiból -re, illetve -re való tükrözéssel ( is és is nyilvánvalóan szimmetrikus az tengelyre és a centrumra nézve). Az pedig, hogy konvex, következik abból, hogy konvex alakzatok közös része is konvex, és a konvex kocka körüli forgatásából származó konvex kockák közös részeként keletkező testnek, és az ugyancsak konvex síknak a metszete. Valóban, ha adott konvex alakzatok tetszőleges serege a térben és a pontok ezeknek az alakzatoknak mindegyikében benne vannak, akkor a szakasz tetszőleges pontja is benne van az alakzatok közül mindegyikben (hiszen az alakzatok konvexek), tehát a szakasz minden pontja benne van az alakzatok közös részében is. Lássuk tehát, miért is van benne az -ben. minden esetre benne van az szakasz felező merőleges síkjában, tehát azonos az sík és a kocka metszetének az egyenesen levő pontjával. Ismeretes, hogy ez a metszet szabályos hatszög, amelynek a csúcsai az szakaszok felezőpontjai és e hatszög egyik oldalának a felezőpontja. Tehát -t körül forgatva a hatszögbe írt kört kapjuk, amelynek minden pontja benne van a hatszögben, így a kockában is. Eredeti célunkra rátérve vizsgáljuk meg most már, mekkora az háromszög körüli forgatásából származó kettős kúpba írható maximális térfogatú kúp. A keresett kúp alapkörének a középpontja rajta van az szakaszon, jelöljük -val. Az általánosság megszorítása nélkül azt is feltehetjük, hogy az szakasz felén van. Rögzített mellett a kúp alapköre már meg van határozva, a közös -hoz tartozó kúpok közül tehát annak a térfogata a maximális, amelyiknek a magassága maximális, vagyis amelyiknek a csúcsa -tól legtávolabb van. Mivel e csúcs is rajta van -n, csak lehet (ha azonos -vel, is lehetne, de ez nem jelent lényegesen új lehetőséget). Jelöljük a kocka élét -val, a kúp magasságát -mel, alapkörének a sugarát -rel. Ekkor és hasonló háromszögek alapján kapjuk, hogy | | tehát a kúp térfogata ahol . Most már -nek szerinti deriváltja, | | a mondott szakaszon negatív, tehát növelésével monoton fogy, így akkor maximális, ha minimális, azaz , vagyis azonos -vel. Ekkor , és , ami elég nagy pazarlásnak látszik, de ha arra gondolunk, hogy ilyen kúpot mindjárt kettőt is kivághatunk a kockából, e pazarlás érthetővé válik. |