Kezdőlap


Feladat:	F.1927	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/január, 10 - 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Diszkusszió, Körérintési szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/március: F.1927

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szerkesztést hasonlósági transzformációval hajtjuk végre. Tetszőleges $r_{1}^{*}$ sugárral az $A B$ oldalszakaszt $E$ -ben érintő $k_{1}^{*}$ kört veszünk föl a háromszög belsejében, megszerkesztjük a $2 r_{1}^{*}$ sugarú $k_{2}^{*}$ kört úgy, hogy érintse $k_{1}^{*}$ -ot, és az $E B$ félegyenest ‐ ha kell, vegyünk olyan új $k_{1}^{*}$ -ot, amelyhez $k_{2}^{*}$ -nak $F$ érintési pontja is az $A B$ szakaszon adódik ‐, majd $k_{1}^{*}$ -nak $A C$ -vel párhuzamos érintői közül azt a $t_{1}^{*}$ -ot, amelyik metszi az $E A$ félegyenest, és $k_{2}^{*}$ -nak $B C$ -vel párhuzamos érintői közül, amelyik metszi az $F B$ félegyenest. Legyenek e metszéspontok rendre $A^{*}$ , $B^{*}$ és a rajzolt érintők metszéspontja $C^{*}$ , így az $A^{*} B^{*} C^{*} = H^{*}$ háromszögben $k_{1}^{*}$ , $k_{2}^{*}$ megfelelnek a feladat feltételeinek, másrészt $H^{*}$ és az adott $A B C = H$ háromszög centrálisan hasonlók az $A B$ és $C C^{*}$ egyenesek $O$ metszéspontjára.

Most már

k_{1}^{*}

-ot és

k_{2}^{*}

-ot

O

-ból

O A : O A^{*}

arányban nagyítva, a kívánt

k_{1}

k_{2}

körpárt kapjuk. A szerkesztés helyességének bizonyítását az olvasóra hagyjuk.
A

k_{1}^{*}

k_{2}^{*}

körpár ‐ a tett korlátozásokkal is, ‐ bármely

A B C

háromszögben megszerkeszthető és

k_{1}^{*}

nyilván valóban benne van a

H^{*}

-ban, ennélfogva

k_{1}

is benne lesz

H

-ban. A

k_{2}

kör akkor és csak akkor adódik

H

-ban, ha

k_{2}^{*}

H^{*}

-ban adódott. Ennek feltétele, hogy

t_{1}^{*}

ne messe

k_{2}^{*}

-ot, legföljebb érintse. Ez ekvivalens azzal, hogy

t_{1}^{*}

legalább akkora szöget zárjon be

A B

-vel, mint

k_{1}^{*}

-nak és

k_{2}^{*}

-nak

t

második közös érintője. Az utóbbi szöget

φ

-vel, és

O_{1}^{*}

-nak

O_{2}^{*} F

-en levő vetületét

G

-vel jelölve

\begin{matrix} sin \frac{φ}{2} = \frac{G O_{2}^{*}}{O_{1}^{*} O_{2}^{*}} = \frac{1}{3}, \end{matrix}

φ = 38^{\circ} 57'

, és a megoldás feltétele:

α \geq φ

.
Ezzel a megoldást befejeztük.