Kezdőlap


Feladat:	F.1925	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/január, 9 - 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Differenciálási szabályok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/március: F.1925

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $f (x)$ az $\frac{x}{2 - x}$ függvényt.

Ekkor

\begin{matrix} g_{1} (x) = x f (x) \end{matrix}

és

\begin{matrix} g_{k + 1} (x) = x f (g_{k} (x)), (k = 1, 2, ...) . \end{matrix}

Mivel

f (1) = 1

, teljes indukcióval adódik, hogy

g_{1} (1) = g_{2} (1) = ... = g_{k} (1) = ... = 1.

f (x)

differenciálható az

x = 1

helyen és így az előbbi eredmény felhasználásával az indukció módszerével azonnal azt is láthatjuk, hogy a

g_{k} (x)

függvények is mind differenciálhatók az

x = 1

helyen.
Deriválással

\begin{matrix} g'_{k + 1} (x) = f (g_{k} (x)) + x f' (g_{k} (x)) g'_{k} (x), \\ f' (x) = \frac{2}{{(2 - x)}^{2}}, és így g'_{k + 1} (1) = 1 + 2 g'_{k} (1) . \end{matrix}

Vezessük be a

h_{k} = g'_{k} (1) + 1

jelölést, ekkor

\begin{matrix} h_{k + 1} = g'_{k + 1} (1) + 1 = 2 + 2 g'_{k} (1) = 2 (g_{k} (1) + 1) = 2 h_{k} . \end{matrix}

Ebből ismét teljes indukcióval adódik, hogy

\begin{matrix} h_{k + 1} = 2^{k} h_{1} . \end{matrix}

h_{1} = g'_{1} (1) + 1 = 4

és így

g'_{k} (1) = h_{k} - 1 = 2^{k + 1} - 1, (k = 1, 2, ...)

Ezzel a keresett sorozat elemeit meghatároztuk.