Kezdőlap


Feladat:	F.1923	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Kovács Ferenc
Füzet:	1975/február, 62 - 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/március: F.1923

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük (1)-ben a két oldal különbségének az $n$ -ed részét $A_{n}$ -nel:

\begin{matrix} A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} - \sum_{i = 1}^{n} \frac{2 i - 1}{n} a_{i} + \frac{n}{3}, \end{matrix}

azt kell megmutatnunk, hogy

A_{n}

pozitív.

A_{n}

-ben rendre az

(a_{i} - \frac{2 i - 1}{2 n})

különbség négyzetének a kezdő tagjai fordulnak elő, tekintsük tehát e négyzetek összegét:

\begin{matrix} B_{n} = \sum_{i = 1}^{n} {(a_{i} - \frac{2 i - 1}{2 n})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} [a_{i}^{2} - \frac{2 i - 1}{n} a_{i} + \frac{{(2 i - 1)}^{2}}{4 n^{2}}] = \\ = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} - \sum_{i = 1}^{n} \frac{2 i - 1}{n} a_{i} + \frac{1}{4 n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} {(2 i - 1)}^{2} . \end{matrix}

(A_{n} - B_{n})

különbség nem függ az

a_{i}

számoktól:

\begin{matrix} C_{n} = A_{n} - B_{n} = \frac{n}{3} - \frac{1}{4 n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} {(2 i - 1)}^{2}, \end{matrix}

és mivel

B_{n}

nem lehet negatív ‐ hiszen négyzetek összege ‐ elég megmutatnunk, hogy

C_{n}

pozitív. Az első

n

páratlan szám négyzetének az összege könnyen meghatározható a négyzetszámok összegére vonatkozó összefüggés alapján:

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} {(2 i - 1)}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (4 i^{2} - 4 i + 1) = 4 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} - 4 \sum_{i = 1}^{n} i + n = \\ = 4 \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - 4 \frac{(n + 1)}{2} + n = \frac{4 n^{3} - n}{3} : \end{matrix}

Ennek alapján

\begin{matrix} C n = \frac{n}{3} - \frac{4 n^{3} - n}{12 n^{2}} = \frac{1}{12 n}, \end{matrix}

ami valóban pozitív:

Kovács Ferenc (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t. ).

Megjegyzés. Megoldásunkban tulajdonképpen az (1)-nél többet mondó

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} (2 i - 1) a_{i} \leq n (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) + \frac{n^{2}}{3} - \frac{1}{12} \end{matrix}

(2)

egyenlőtlenséget bizonyítottunk be, és nem használtuk fel az

a_{i}

számokra vonatkozó feltételt. Azt is láttuk, hogy (2)-ben akkor és csakis akkor érvényes az egyenlőség jele, ha

\begin{matrix} a_{i} = \frac{2 i - 1}{2 n}, i = 1, 2, ..., n . \end{matrix}