A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Megmutatjuk, hogy a két kockáról az a ‐ él, amelyek nem futnak be a közös tengely végpontjaiba, páronként felezi egymást. Ennek alapján könnyen felbonthatjuk az együttesen kitöltött teret is és az alakzat felszínét is egyszerűen számítható térfogatú, illetve felszínű részekre. Legyen egy kocka alaplapja , egyik oldallapja , a él felezőpontja , a , élé , illetve .
Ezek mindegyike egyenlő távolságra van -tól is, -től is, mert a távolság egy-egy olyan derékszögű háromszög átfogója, melynek befogói és . Ugyanez áll a további , sem -ba, sem -be nem befutó él felezőpontjára; az átfogók hossza . Így a felezőpont rajta van az és körüli sugarú gömbök felületén és metszésvonalán, ami egyszersmind az testátló felező merőleges síkjában is benne van, tehát kör. Ennek középpontja felezi -t, sugara pl. az derékszögű háromszögből . Ugyanekkora ‐ egymás utáni felezőpont távolsága, pl. a lapban . Ezek szerint a felezőpont egy körbeírt, egyenlő oldalú idomnak, szabályos hatszögnek csúcsait alkotja, . Ha most a második kockát az eddigiből körüli -os elfordítással származtatjuk, akkor átjut -ba, pedig -be, tehát új helyzete felezi -t, új helyzete -t stb., amint állítottuk. Messük le az eredeti kockából az , a , síkkal a , a csúcs körüli, , , élű derékszögű tetraédert, és -t, -t kivéve a kocka további csúcsának is az ilyen ,,környezetét''. A visszamaradó test szabályos hatoldalú kettős gúla (bipiramis), ez a kocka elfordítása után az új helyzetben is benne van, a két kocka belsejének közös része. A lemetszett ‐ de továbbra is odatapasztott ‐ tetraéder viszont az eredeti kockán kívülre jut, pl. az tetraéder az -be, és -t az lap ‐ illetve ennek részháromszöge ‐ elválasztja a kockától. b) Eszerint a keresett térfogat a kettős gúla és kis tetraéder térfogatának összege, másképpen az eredeti kocka és kis tetraéder térfogatának összege: | | A felszín pedig a kis tetraéder derékszögű lapterület összegének szerese: | |
Megjegyzés. Érdekes, megegyezés, hogy alakzatunk térfogata is, felszíne is résszel nagyobb, mint az eredeti kockáé.
Mátrai Gizella (Pécs, Széchenyi I. Gimn., III. o. t.) |