Kezdőlap


Feladat:	F.1914	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/november, 128 - 129. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Trigonometriai azonosságok, Négyzetek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/január: F.1914

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $M$ és $N$ pontot tartalmazó $A O B$ szögtartomány mérőszáma $2 x$ , a $K L$ és $N M$ oldal felezőpontja $P$ , illetve $Q$ , továbbá $O K = 1$ .

O Q

irányt pozitívnak véve, előjellel együtt

O P = cos x

P Q = K N = K L = 2 sin x

, és

M Q = sin x

, hiszen

O K = O L

alapján

O P

K L

szakasz felezőmerőlegese és az alakzat szimmetriatengelye, tehát

Q O A ∢ = x

. Így az

O M Q

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} {(cos x + 2 sin x)}^{2} + sin^{2} x = 4. \end{matrix}

Könnyű innen áttérni az ismeretlen

2 x

függvényeire:

\begin{matrix} 4 sin x cos x + 4 sin^{2} x = 2 sin 2 x + 2 - 2 cos 2 x = 3, \\ sin 2 x - cos 2 x = \frac{1}{2} . & (1) \end{matrix}

Az egyenletet

\sqrt[]{2}

-vel osztva és az együtthatókban fölismerve

45^{\circ}

szögfüggvényeit, az addíciós azonosság alapján

\begin{matrix} sin (2 x - 45^{\circ}) = \frac{1}{2 \sqrt[]{2}} = \frac{\sqrt[]{2}}{4} = 0, 3536, \end{matrix}

\begin{matrix} 2 x - 45^{\circ} = {\begin{matrix} 20^{\circ} 42', \\ 159^{\circ} 18' . \end{matrix} \end{matrix}

A O B

szögre tehát két értéket kaptunk:

65^{\circ} 42'

és

204^{\circ} 18'

.
Megjegyzés. Az (1) megoldásában az

\begin{matrix} a sin x + b cos x = c \end{matrix}

egyenlet általános megoldását követtük: segédszögnek vezettük be azt a

φ

-t, amelyre

\begin{matrix} \frac{a}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}} = cos φ és \frac{b}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}} = sin φ, \end{matrix}

hacsak

| c | \leq \sqrt[]{a^{2} + b^{2}}