Feladat: F.1913 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Böősi Imre 
Füzet: 1974/november, 128. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Permutációk, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/január: F.1913

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az n könyvet n! különböző módon rakhatjuk fel a polcra. A kedvező esetek összeszámolása érdekében képzeletben kötözzük össze felrakás előtt a kedvenc könyveket. Az így kapott egységet a többi (n-k) könyvvel együtt összesen (n-k+1)! különböző sorrendben tehetjük a polcra. Összekötés előtt a kedvenc könyvek sorrendje k!-féleképpen alakítható ki, tehát a kedvező esetek száma k!(n-k+1)!. Így a keresett valószínűség:

P(k)=k!(n-k+1)!n!.

Ez eggyel egyenlő ‐ tehát maximális ‐, ha k=1, vagy k=n. A minimum helyének meghatározása érdekében vizsgáljuk meg, melyek azok a k értékek, amelyekre P(k)>P(k+1). Mivel
P(k)P(k+1)=k!(n-k+1)!(k+1)!(n-k)!=n-k+1k+1,
P(k) akkor és csakis akkor nagyobb P(k+1)-nél, ha (n-k+1)>(k+1), azaz ha 2k<n. Ha 2k=n (ami csak páros n mellett fordulhat elő), akkor P(k)=P(k+1), ha pedig 2k>n, akkor P(k)<P(k+1). Ha tehát n páros, akkor k=n2-ig P(k) monoton fogy, a P(n2)=P(n+22) értékek minimálisak, ezt követően P(k) monoton nő. Ha pedig n páratlan, a minimuma k=n+12 értékhez tartozik. Közben azt is beláttuk, hogy P(1)>P(2) és P(n-1)<P(n), tehát a k=1, n értékeken kívül más maximális érték nincs.
Kivételt képeznek az n=1, n=2 esetek, hiszen ekkor csak egy, illetve két egyenlő P(k) értékünk van, tehát szélső értékről nem beszélhetünk.
 

  Böősi Imre (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzés. Nem beszéltünk a k=0 esetről, ha ezt is megengedjük, P(k) értéke itt is maximális. Tulajdonképpen az is vitatható, hogy k=1 mellett a kedvenc könyveink,,egymás mellé'' kerülnek-e. A feladat szövege inkább a k>1 feltételt sugallja, ekkor természetesen n>1, és csak k=n mellett van maximum.