|
Feladat: |
F.1909 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Alexy M. , Baranyi J. , Bárdossy Gy. , Bezdek A. , Csuka Ibolya , Dózsa L. , Hamar D. , Ható Mária , József S. , Karsai B. , Kecskés Cs. , Kerner P. , Király Mária , Kiss E. , Kóczy Annamária , Kovács Éva , Kovács M. , Krausz T. , Litkei G. , Lovász A. , Mátrai Gizella , Miklós D. , Münnich Á. , Nagy János , Németh Imre (Celldömölk) , Orosz Á. , Páles Zs. , Rapp F. , Ruppert L. , Sárga E. , Smohay T. , Sparing L. , Sramó A. , Szathmári A. , Szép J. , Tornóci L. , Udvardy Magdolna , Varga B. , Varga Erzsébet , Vass Albert (Debrecen) , Veres S. , Werderits F. |
Füzet: |
1974/szeptember,
11 - 12. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Hozzáírt körök, Paralelogrammák, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1973/december: F.1909 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A paralelogrammákban (az irányt is beleértve), tehát és egymás tükörképei -ra mint centrumra. A két kör bele van írva a (-nál kisebb) szögtartománynak abba a két mellékszögtartományába, amely vele az , illetve félegyenes mentén szomszédos; e két tartomány egymásnak csúcsszögtartománya. Így a két kör egymás képe egy centrumú, valamilyen arányú hasonlósági transzformációban, továbbá az előbbiek szerint az egymás meghosszabbítását adó , félegyenesek is egymás képei.
Az félegyenes a -n átmenő hozzáírt kört másodszor és között metszi, mert az ellentétes esetben az paralelogrammának és a körnek lenne az egyetlen közös pontja, így pedig a kör nem érinthetné a paralelogramma belsejében levő szakaszt. Ugyanígy is -tól távolabbi metszéspontja az oldalhoz hozzáírt körnek és az félegyenesnek. Ezek szerint a és pontok is egymás megfelelői a mondott centrális hasonlóságban, tehát alapján a nagyítási arány , a két kör sugara egyenlő. Ezért az , középpontjaikat összekötő egyenes párhuzamos -vel, másrészt áthalad -n, hiszen ez az egyenes a háromszög -nál levő külső szögeinek a felezője, és ezen van is, is. Így a félszögek váltószögeiként , az háromszög egyenlő szárú: , szögeinek kiszámításához elég meghatároznunk alapjának és szárának arányát. Legyen a alap felezőpontja , az oldalhoz hozzáírt kör érintési pontja a oldal meghosszabbításán . Ekkor ‐ mint ismeretes ‐ egyenlő az háromszög kerületének felével, és az oldalak, szögek szokásos jelöléseivel
Ezzel a megoldást befejeztük. Megjegyzés. Szokás az paralelogramma csúcsát az háromszög (egyik) külső súlypontjának nevezni, ugyanis itt van a tömegpontrendszer súlypontja, ha -ba és -be () tömeget és -be () tömeget gondolunk. Ebben a szóhasználatban a feladat föltevésének egyik része így mondható ki: a -vel szemben fekvő oldalhoz hozzáírt külső érintő kör átmegy a -vel szemben fekvő külső súlyponton. Ezek után rámutathatunk a feladat eredetére. Lapunk 1966. évi pályázatának tárgya az olyan háromszögek több irányú vizsgálata volt, melyeknek beírt köre átmegy a súlyponton. Egy ilyen háromszöget vizsgált egy további érdekesség mellett az 1805. feladat, és annak kapcsán merült fel az általánosítás kérdése, külső súlypontra, külső érintő körre. Ezúttal nem numerikus könnyítést vettünk, hanem egyenlő szárú háromszöget (két külső súlypont révén). ‐ Az érdeklődőknek ajánljuk a három oldal közti összefüggés megállapítását azzal a követeléssel, hogy a külső érintő körök egyike menjen át a megfelelő külső súlyponton.
Megoldása: K. M. L. 45. (1972) 12. |
|