Kezdőlap


Feladat:	F.1907	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/május, 202 - 203. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Konvergens sorok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/december: F.1907

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először is megállapítjuk, hogy az $S_{n} (x)$ függvény minden $x$ -re és minden $n$ -re értelmezve van, hiszen a nevezőkben

\begin{matrix} x^{2} - 2 x + 3 = {(x - 1)}^{2} + 2, \end{matrix}

illetve ennek valamely hatványa áll, és ez soha nem nulla. Másik észrevételünk az, hogy az (1) mértani sor hányadosa nem

1

, azaz

\begin{matrix} \frac{x}{x^{2} - 2 x + 3} \neq 1, hiszen 1 - \frac{x}{x^{2} - 2 x + 3} = \frac{x^{2} - 3 x + 3}{x^{2} - 2 x + 3} > 0. \end{matrix}

(2)

Ehhez csak azt kell belátnunk, hogy

x^{2} - 3 x + 3 > 0

, ez viszont

\begin{matrix} x^{2} - 3 x + 3 = {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{4} ≧ \frac{3}{4} > 0 \end{matrix}

(3)

miatt igaz.
Mivel az (1) mértani sor hányadosa nem

1

, azért lehet rá alkalmazni a mértani sor összegképletét:

\begin{matrix} S_{n} (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 3} \cdot \frac{1 - {(\frac{x}{x^{2} - 2 x + 3})}^{n}}{1 - \frac{x}{x^{2} - 2 x + 3}} = \frac{1 - {(\frac{x}{x^{2} - 2 x + 3})}^{n}}{x^{2} - 3 x + 3} . \end{matrix}

(4)

a) Ha

x > 0

, akkor

{(\frac{x}{x^{2} - 2 x + 3})}^{n} > 0

tetszőleges

n

-re, következésképpen

\begin{matrix} S_{n} (x) < \frac{1}{x^{2} - 3 x + 3} ≦ \frac{4}{3}, \end{matrix}

a (3) szerint. Így

x > 0

és

n

tetszőleges értéke mellett

S_{n} (x) < 4 / 3

.
b) Ha

x = 0

, akkor

S_{n} (0) = 1 / 3

n

értékétől függetlenül, és ez is

< 4 / 3

.
c) Végül ha

x < 0

, akkor

\begin{matrix} 0 > \frac{x}{x^{2} - 2 x + 3} > - 1, \end{matrix}

(5)

hiszen

x^{2} - x + 3 > 0

, és így

x > - (x^{2} - 2 x + 3)

. Emiatt tetszőleges

n

-re

\begin{matrix} {(\frac{x}{x^{2} - 2 x + 3})}^{n} ≧ \frac{x}{x^{2} - 2 x + 3}, \end{matrix}

amiből (4) szerint

\begin{matrix} S_{n} (x) ≦ \frac{1 - \frac{x}{x^{2} - 2 x + 3}}{x^{2} - 3 x + 3} \end{matrix}

következik. (5) miatt itt a számláló kisebb, mint

2

, és (3) miatt

x < 0

mellett a nevező nem kisebb

\frac{3}{4} + \frac{9}{4} = 3

-nál, így

\begin{matrix} S_{n} (x) ≦ \frac{2}{3} < \frac{3}{4}, \end{matrix}

amint azt bizonyítanunk kellett.