Feladat: F.1905 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1974/október, 65 - 66. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Négyzetszámok összege, Köbszámok összege, Maradékos osztás, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/december: F.1905

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mielőtt az oszthatósági kérdésre válaszolnák, alakítsuk át a kettős összeget:

∑k=1n∑i=1ki2=12+(12+22)+...+(12+22+...+n2)==n⋅12+(n-1)⋅22+...+1⋅n2==n(12+22+...+n2)-(0⋅12+1⋅22+...+(n-1)⋅n2)==n∑i=1ni2-∑i=1n(i-1)i2==n∑i=1ni2-∑i=1ni3+∑i=1ni2.
Felhasználva az ismert
∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6,∑i=1ni3=n2(n+1)24
összefüggéseket, kapjuk, hogy
∑k=1n∑i=1ni2=n(n+1)2(n+2)12(2)

a) Vizsgáljuk meg most, hogy új kifejezése szerint milyen n értékekre osztható n-nel az összeg. Nyilván azokra, amelyekre
n(n+1)2(n+2)12n=(n+1)2(n+1)12
egész szám, tehát azt kell megvizsgálni, hogy mely n-ekre lesz 12-vel osztható az (n+1)2(n+2) kifejezés. Ahhoz, hogy az oszthatóság fennálljon, szükséges és elégséges, hogy (n+1)2(n+2)-nek 3 is, 4 is osztója, légyen. A 3 akkor és csak akkor osztója, ha n nem osztható 3-mal, hiszen az n,n+1,n+2 számok közül pontosan az egyik osztható 3-mai, tehát az egyetlen ,,rossz eset'', amikor n osztható 3-mai. Hasonlóan kapjuk, hogy másik oszthatósági követelményünk akkor és csakis akkor áll fenn, ha n nem osztható 4-gyél. Ha ugyanis n=4k alakú szám, akkor (n+1) páratlan; (n+2) csak 2-vel osztható, 4-gyel nem. Ha viszont n=4k+1, vagy (4k+3) vagy (4k+2) alakú, akkor vagy n+1 páros, így (n+1)2 osztható 4-gyel, vagy n+2=4k+4, osztható 4-gyel.
Így az összeg akkor osztható n-nel, ha n maga sem 3-mal, sem 4-gyel nem osztható.
b) A (2) kifejezés azokra az n-ekre osztható (n+1)-gyel, amelyekre n(+1)(n+2)12 egész szám, vagyis amelyekre n(n+1)(n+2)-nek 3 is, 4 is osztója. A szorzat 3-mal biztosan osztható, mivel egymás utáni szám szorzatáról van szó. 4-gyel viszont csak akkor osztható, ha n nem (4k+1) alakú. Hiszen ha n=4k+1, akkor n és (n+2) páratlan, n+1 pedig csak 2-vel osztható; viszont n=4k,4k+2 és (4k+3) alakú szám esetén n és (n+2) mindegyike páros, illetve (n+1) osztható 4-gyel. Tehát a (2) összeg (n+1)-gyel akkor osztható, ha n nem 4k+1 alakú.