Kezdőlap


Feladat:	F.1903	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Krausz Tamás
Füzet:	1974/szeptember, 10 - 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Geometriai egyenlőtlenségek, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/november: F.1903

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

^{$^{*}$} A kérdéses $C$ pont a $2$ egységnyi hosszú $A B$ szakasz belső pontja, $D$ pedig az $A B$ -re való merőleges vetítéssel keletkezett annak a körnek a $K$ középpontjából, amely érinti a következő köröket: az $A B$ mint átmérő fölötti kör, az $A$ körüli $A C$ sugarú kör és a $B'$ körüli $B C$ sugarú kör.
Láttuk az idézett megoldásban, hogy az érintő kör sugara mint $C$ helyzetének függvénye

\begin{matrix} r = \frac{1 - t^{2}}{4}, \end{matrix}

ahol

t

O C

szakasz hosszát

(0 \leq t < 1)

O

A B

szakasz felezőpontját jelöli; továbbá hogy

O D = x

jelöléssel (

C

és

D

O A

szakaszon)

\begin{matrix} K D^{2} = {(1 - t + r)}^{2} - {(1 - x)}^{2} = {(1 - r)}^{2} - x^{2} . \end{matrix}

Innen

x = (5 t - t^{3}) / 4

és a kérdéses szakasz hossza:

\begin{matrix} C D = O D - O C = x - t = \frac{t - t^{3}}{4} = \frac{t (1 - t^{2})}{4}, \end{matrix}

ami nyilvánvalóan pozitív. Deriválással kapjuk, hogy e függvénynek az értelmezési intervallumban csak

t = 1 / \sqrt[]{3}

helyen lehet szélső értéke. S mivel e helyen áthaladva, függvényünk

(1 - 3 t^{2}) / 4

deriváltja csökkenve halad át a

0

értéken, itt maximum van.
A kérdéses ábrán a méretek megfelelnek eredményeinknek.

Krausz Tamás (Debrecen, Fazekas M. Gimn. III. o. t. )

^{$^{*}$}Lásd a megoldást K. M. L. 47. (1973) 18. oldal.