Kezdőlap

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltevés alakításával és ismert azonosságokat felhasználva

\begin{matrix} sin 2 x cos y + cos 2 x sin y = 5 sin y, \\ tg y = \frac{sin y}{cos y} = \frac{sin 2 x}{5 - cos 2 x} = \frac{\frac{2 tg x}{1 + {tg}^{2} x}}{5 - \frac{1 - {tg}^{2} x}{1 + {tg}^{2} x}} = \frac{2 tg x}{6 {tg}^{2} x + 4}, \end{matrix}

hacsak

cos y \neq 0

. Ennélfogva

\begin{matrix} tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x tg y} = \frac{tg x + \frac{2 tg x}{6 {tg}^{2} x + 4}}{1 - \frac{2 {tg}^{2} x}{6 {tg}^{2} x + 4}} = \frac{6 tg x ({tg}^{2} x + 1)}{4 ({tg}^{2} x + 1)} = \frac{3}{2} tg x, \end{matrix}

hacsak

tg (x + y)

értelmezhető, vagyis

x + y \neq (2 k + 1) \frac{π}{2}

. Ezt kellett bizonyítanunk.
A felhasznált

cos y \neq 0

, azaz

sin^{2} y \neq 1

egyenlőtlenséget (1) biztosítja, hiszen onnan

| sin y | ≦ 0, 2

.
Az

x + y \neq (2 k + 1) \frac{π}{2}

kizárást ‐ mint két változó közti összefüggést ‐ (1) önmagában nem biztosíthatja: külön kellett megkövetelnünk. A kizárt eset lép fel, ha

cos x = sin y = 0

, azaz pl.

x = \frac{π}{2}, y = 0

Megjegyzés. Többen a sinustétel és a tangenstétel felhasználásával vélték bizonyítani az állítást, föltételezték, hogy

y

és

2 x + y

egy háromszög szögei. Ez durva leszűkítése a kérdésnek, hiszen a sinusfüggvény minden valós helyen értelmezve van.