A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az állítást indirekt úton bizonyítjuk be. Tételezzük fel, hogy csak véges sok számot karikáztunk be. A bekarikázott számok halmaza nem üres: az első számot mindenképpen be kell karikáznunk. Ekkor a bekarikázott számok között van legnagyobb, legyen ez . Tekintsük a ,,valamilyen sorrendben'' leírt természetes számok közül az első darabot. Mivel minden számot egyszer írtunk le, azért ez az szám mind különböző természetes szám. Megmutatjuk, hogy ezen szám egyike sem nagyobb -nél. a) A bekarikázottak nem lehetnek nagyobbak választása miatt. b) A be nem karikázott számok a feladat feltétele szerint kisebbek, mint ahányadik helyen állnak. Így az első helyen álló be nem karikázott számok közül sem lehet -nél nagyobb. Így arra jutottunk, hogy különböző természetes számunk van, amelyek közül egyik sem nagyobb -nél. Ezzel ellentmondásra jutottunk, vagyis az eredeti állítás igaz. Horváth Eszter (Budapest, Ságvári E. Gyak. Gimn. IV. o. t.)
II. megoldás. A ,,valamilyen sorrendben'' leírt természetes számok közül az -edik helyen álló legyen . Tekintsük a sorozat első elemét. Ezek összegét nem növeljük, ha helyette a összeget vesszük, vagyis A bizonyítást ismét indirekt úton végezzük. Tegyük fel, hogy az , számok közül csak véges sokat karikáztunk be, azaz csak véges sok számra teljesül, hogy . Legyen a bekarikázott számok közül az utolsónak a sorszáma (, hiszen az első számot feltétlenül bekarikázzuk). Legyen Az -edik elemtől kezdve az indirekt feltevés következtében egy elem sincs bekarikázva, így , ha . Mivel és természetes számok, , és ezért | | (3) | Összeadva (2)-t és (3)-t Ez azonban (1) miatt lehetetlen. Ellentmondásra jutottunk: indirekt feltevésünk hibás volt, vagyis végtelen sok számot kellett bekarikáznunk. Somogyi Antal (Budapest, Móricz Zs. Gimn. IV. o. t.)
|