Belátjuk, hogy az egyenletnek semmilyen nemnegatív egész $p$, $q$, $r$ számhármas nem megoldása. Ennek érdekében nézzük meg, hogy az egyes hatványokat $15$-tel osztva milyen maradékot kaphatunk.
a) $2^p$-t $15$-tel osztva rendre $1$, $2$, $4$, $8$ maradékot kapunk. Ugyanis a következő hatvány: $16$, ismét $1$ maradékot ad, az azt követő $1\cdot 2=2$-t, majd $2\cdot 2=4$-et, és így tovább, ciklikusan ezek a maradékok ismétlődnek.
b)$5^q$ maradéka $1$, $5$ vagy $10$ lehet. Hiszen ha a korábbi maradék $5$ volt, akkor a következő maradék $5\cdot 5=25=15+10$ miatt $10$ lesz, ha a maradék $10$ volt, a következő maradék $10\cdot 5=50=3\cdot 15+5$ miatt $5$ lesz. Így a maradékok felváltva $5$, vagy $10$, míg $5^0=1$ adja az $1$ maradékot.
c) Végül ${19}^r$ maradéka $1$ vagy $4$ lehet $19=15+4$, illetve $4\cdot 19=76=5\cdot 15+1$ miatt.
Ezek szerint (1) bal oldala $15$-tel osztva a következő maradékokat adhatja: