Feladat:	F.1899	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Ács T. ,  Alexy M. ,  Domokos Ibolya ,  Engelmann T. ,  Hajnal I. ,  Hornung T. ,  Horváth Eszter ,  Jakab T. ,  Katona Klára ,  Kóczy Annamária ,  Mikoss L. ,  Molnár B. ,  Nádasy G. ,  Nagy János ,  Németh Imre ,  Páles Zs. ,  Pálmai P. ,  Perge L. ,  Rapp F. ,  Somogyi Á. ,  Surján P. ,  Szabó Margit ,  Szathmári A. ,  Szép J. ,  Tokodi J. ,  Tuboly J. ,  Vass A. ,  Végh CS.
Füzet:	1974/október, 64 - 65. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/november: F.1899

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle y^2-zx=a{\left(x+y+z\right)}^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x^2-yz=b{\left(x+y+x\right)}^2\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle z^2-xy=c{\left(x+y+z\right)}^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Keressük meg először az egyenletrendszer olyan megoldásait ‐ ha vannak ‐, melyekre $x+y+z=0$. Ilyen feltétel mellett az egyenletrendszer a következőképpen alakul: $\begin{array}{c}{\displaystyle y^2=xz;z^2=xy;x^2=yz;\text{valamint}x+y+z=0.}\end{array}$ A feltételből $y=-x-z$, innen $y^2=x^2+2xz+z^2=xz$, azaz $x^2+xz+z^2=0$, ami valós számokban csak úgy lehet, ha $x=z=0$, amiből $y=0$ is következik. Így $x+y+z=0$ mellett csak $x=y=z=0$ megoldás lehetséges, és ez valóban megoldása is az (1) egyenletrendszernek. A továbbiakban feltesszük, hogy $x+y+z\ne 0$. Az (1) első egyenletéből vonjuk ki a másodikat, a másodikból a harmadikat, valamint a harmadikból az elsőt. Rendre a következő egyenleteket kapjuk: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle y^2-z^2+xy-xz=\left(a-b\right){\left(x+y+z\right)}^2\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle z^2-x^2+yz-xy=\left(b-c\right){\left(x+y+z\right)}^2\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle x^2-y^2+xz-yz=\left(c-a\right){\left(x+y+z\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}}$ Kiemelések után és $x+y+z\ne 0$-val osztva: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle y-z=\left(a-b\right)\left(x+y+z\right)\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle z-x=\left(b-c\right)\left(x+y+z\right)\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle x-y=\left(c-a\right)\left(x+y+z\right)\mathrm{.}}\end{array}}$ Válasszuk az $x+y+z$ értéket paraméternek és jelöljük $3s$-sel. Ennek segítségével fejezzük ki $x\mathrm{,}y$, valamint z értékét: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x+y+z=3s\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle y-z=3\left(a-b\right)s\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle z-x=3\left(b-c\right)s\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x-y=3\left(c-a\right)s\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az első egyenlethez hozzáadva a negyediket és levonva a harmadikat, $x$ értékét kapjuk. Hasonlóan nyerjük $y$ és z értékét a megfelelő egyenletek hozzáadásával, illetve levonásával: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x=\left(2c-a-b+1\right)s\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle y=\left(2a-b-c+1\right)s\mathrm{,}}& \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle z=\left(2b-c-a+1\right)s\mathrm{.}}\end{array}}$ Tehát ha az (1) egyenletrendszernek van az $x=y=z=0$ megoldáson kívül más megoldása, akkor azt (3) adja meg. Nézzük meg, hogy (3) mikor lesz megoldása az eredeti egyenletrendszernek (feltétel szerint $s\ne 0$). Például az első egyenlet bal oldalába helyettesítve, a kapott érték $\begin{array}{c}{\displaystyle \left[\left(3a^2+3b^2+3c^2-3ab-3bc-3ca-3a-3b-3c\right)+9a\right]\cdot s^2\mathrm{,}}\end{array}$ míg a jobb oldal $9a{s}^2$. A két oldal ($s\ne 0$ miatt) csak akkor lesz egyenlő, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)-\left(a+b+c\right)=0.}\end{array}$ (4) Könnyen látható, hogy a (4) feltétel mellett a többi egyenletet is kielégíti (3) Amennyiben a (4) feltétel teljesül, akkor az összes megoldást is megadja a (3) képlet, ugyanis az $x=y=z=0$ megoldást éppen az $s=0$ helyettesítéskor kapjuk. Összefoglalva, ha (4) nem teljesül, akkor az egyenletrendszer egyetlen megoldása $x=y=z=0$, ha viszont (4) igaz, úgy az egyenletrendszer összes megoldását (3) szolgáltatja, ahol $s$ tetszőleges valós számot jelöl.